Déterminer, en utilisant des développements limités, les limites suivantes :

  1. \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty}\left(x-x^2\ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right)\right)}\)

  2. \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}x\dfrac{\ln\left(1+x\right)-\sin x}{\tan x- x}}\)

  3. \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}\left(\dfrac{\tan x}{x}\right)^{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x^2}}}\)

  4. \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}\dfrac{e^{x^2}-\cos x}{x^2}}\)

  5. \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty}\sqrt{x^2+x+1}-x}\)

  6. \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 2}\dfrac{\sqrt{x+2}-2}{1-\sqrt{3x-5}}}\)


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[ID: 734] [Date de publication: 18 janvier 2021 13:47] [Catégorie(s): Applications au calcul de limite ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 20
Par emmanuel le 18 janvier 2021 13:47
  1. \[\begin{aligned} x- x^2\ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right) &=& x-x^2 \left(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{2x^2}+\underset{x \rightarrow +\infty}{o}\left(\dfrac{1}{x^2}\right)\right)\\ &=& x-\left(x-\dfrac{1}{2}+\underset{x \rightarrow +\infty}{o}\left(1\right) \right)\\ &=& \dfrac{1}{2}+\underset{x \rightarrow +\infty}{o}\left(1\right) \xrightarrow[x\rightarrow \infty]{} \boxed{\dfrac{1}{2}} \end{aligned}\]

  2. \[\begin{aligned} x\dfrac{\ln\left(1+x\right)-\sin x}{\tan x- x}&=&\dfrac{ -\dfrac{x^3}{2}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right) }{ \dfrac{x^3}{3}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right) }\\ &=&\dfrac{ -\dfrac{1}{2}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(1\right) }{ \dfrac{1}{3}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(1\right) }\xrightarrow[x\rightarrow 0]{}\boxed{-\dfrac{3}{2}} \end{aligned}\]

  3. \[\begin{aligned} \left(\dfrac{\tan x}{x}\right)^{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x^2}}&=&e^{\dfrac{\ln\left(\dfrac{\tan x}{x}\right)}{x^2}}\\ &=&e^{\dfrac{\ln\left(1+\dfrac{x^2}{3}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^2\right) \right)}{x^2}}\\ &=&e^{\dfrac{ \dfrac{x^2}{3}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^2\right) }{x^2} }\\ &=&e^{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 3}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(1\right)}\xrightarrow[x\rightarrow 0]{}\boxed{e^{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 3}}} \end{aligned}\]

  4. \[\begin{aligned} \dfrac{e^{x^2}-\cos x}{x^2}&=&\dfrac{\dfrac{3}{2}x^2+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^2\right)}{x^2}\\ &=&\dfrac{3}{2}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(1\right)\xrightarrow[x\rightarrow 0]{}\boxed{\dfrac{3}{2}} \end{aligned}\]

  5. \[\begin{aligned} \sqrt{x^2+x+1}-x&=&x\left(\sqrt{1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2} } - 1\right)\\ &\xlongequal{X=\dfrac{1}{x}}&\dfrac{1}{X}\left(\sqrt{1+X+X^2}-1\right)\\ &=&\dfrac{1}{X}\left(1+\dfrac{1}{2}X -1+ \underset{X \rightarrow 0}{o}\left(X\right)\right)\\ &=&\dfrac{1}{2}+\underset{X \rightarrow 0}{o}\left(1\right)\xrightarrow[X\rightarrow 0]{}\boxed{\dfrac{1}{2}} \end{aligned}\]

  6. \[\begin{aligned} \dfrac{\sqrt{x+2}-2}{1-\sqrt{3x-5}}&\xlongequal{X=x-2}& \dfrac{\sqrt{X+4}-2}{1-\sqrt{3X+1}}\\ &=& 2\dfrac{\sqrt{1+{\scriptstyle X\over\scriptstyle 4}} -1}{1-\sqrt{1+3X}}\\ &=&2\dfrac{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 8}X+\underset{X \rightarrow 0}{o}\left(X\right)}{-{\scriptstyle 3\over\scriptstyle 2}X+\underset{X \rightarrow 0}{o}\left(X\right)}\\ &=&\dfrac{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 4}+\underset{X \rightarrow 0}{o}\left(1\right)}{-{\scriptstyle 3\over\scriptstyle 2}+\underset{X \rightarrow 0}{o}\left(1\right)}\\ &\xrightarrow[X\rightarrow 0]{}&\boxed{-\dfrac{1}{6}} \end{aligned}\]


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