• Calculer \(\int_0^x (1+\tan^2t)\,\textrm dt\).

  • Déterminer le \(DL(0,10)\) de \(x\mapsto\tan x\).


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[ID: 732] [Date de publication: 18 janvier 2021 13:44] [Catégorie(s): Calcul de développements limités ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 697
Par emmanuel le 18 janvier 2021 13:44
  • On a \(\int_0^x (1+\tan^2t)\,\textrm dt = \tan x\).

  • On va se servir de deux arguments : 1) La primitivation fait gagner un ordre. 2) pour les fonctions paires ou impaires, la moitié des coefficients sont nuls, ce qui permet de gagner aussi un ordre. Par ailleurs, la fonction \(x\mapsto\tan x\) admet des développements limités en \(0\) à tous ordres. On a donc successivement, en intégrant puis en élevant au carré :
    \[\begin{aligned} 1 + \tan^2 x &= 1 + \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x\right) \\ \tan x &= x + \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^2\right) \\ 1 + \tan^2 x &= 1 + x^2 \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right) \\ \tan x &= x + \dfrac{x^3}{3} + \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^4\right) \\ 1 + \tan^2 x &= 1 + x^2 + 2\dfrac{x^4}{3} + \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^5\right) \\ \tan x &= x + \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{2x^5}{15} + \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^6\right) \\ 1 + \tan^2 x &= 1 + x^2 + 2\dfrac{x^4}{3} + 2\dfrac{2x^6}{15} + \dfrac{x^6}{9} + \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^7\right) \\ \tan x &= x + \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{2x^5}{15} + \dfrac{17x^7}{315} + \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^8\right) \\ 1 + \tan^2 x &= 1 + x^2 + 2\dfrac{x^4}{3} + \dfrac{17x^6}{45} + \dfrac{34x^8}{315} + \dfrac{4x^8}{45} + \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^9\right) \\ \tan x &= x + \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{2x^5}{15} + \dfrac{17x^7}{315} + \dfrac{62x^8}{2835} + \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^{10}\right) \end{aligned}\] On pourrait continuer, mais les calculs de \(\tan^2 x\) deviennent vite fastidieux. En revanche on peut ainsi démontrer que \(\forall n \in \mathbb{N}, \tan^{(2n+1)}(0)>0\).


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