Barre utilisateur

[ID: 732] [Date de publication: 18 janvier 2021 13:44] [Catégorie(s): Calcul de développements limités ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron ]

Solution(s)

Solution(s)

Exercice 697
Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron le 18 janvier 2021 13:44

• On a \(\int_0^x (1+\tan^2t)\,\textrm dt = \tan x\).

• On va se servir de deux arguments : 1) La primitivation fait gagner un ordre. 2) pour les fonctions paires ou impaires, la moitié des coefficients sont nuls, ce qui permet de gagner aussi un ordre. Par ailleurs, la fonction \(x\mapsto\tan x\) admet des développements limités en \(0\) à tous ordres. On a donc successivement, en intégrant puis en élevant au carré :
  \[\begin{aligned} 1 + \tan^2 x &= 1 + \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x\right) \\ \tan x &= x + \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^2\right) \\ 1 + \tan^2 x &= 1 + x^2 \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right) \\ \tan x &= x + \dfrac{x^3}{3} + \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^4\right) \\ 1 + \tan^2 x &= 1 + x^2 + 2\dfrac{x^4}{3} + \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^5\right) \\ \tan x &= x + \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{2x^5}{15} + \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^6\right) \\ 1 + \tan^2 x &= 1 + x^2 + 2\dfrac{x^4}{3} + 2\dfrac{2x^6}{15} + \dfrac{x^6}{9} + \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^7\right) \\ \tan x &= x + \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{2x^5}{15} + \dfrac{17x^7}{315} + \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^8\right) \\ 1 + \tan^2 x &= 1 + x^2 + 2\dfrac{x^4}{3} + \dfrac{17x^6}{45} + \dfrac{34x^8}{315} + \dfrac{4x^8}{45} + \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^9\right) \\ \tan x &= x + \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{2x^5}{15} + \dfrac{17x^7}{315} + \dfrac{62x^8}{2835} + \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^{10}\right) \end{aligned}\] On pourrait continuer, mais les calculs de \(\tan^2 x\) deviennent vite fastidieux. En revanche on peut ainsi démontrer que \(\forall n \in \mathbb{N}, \tan^{(2n+1)}(0)>0\).