Déterminer le \(DL(0,2)\) de la fonction définie par : \[\operatorname{arcsin} \left( \dfrac{1+x}{2+x} \right)\]


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[ID: 730] [Date de publication: 18 janvier 2021 13:44] [Catégorie(s): Calcul de développements limités ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 285
Par emmanuel le 18 janvier 2021 13:44

La fonction \(f:x\mapsto \operatorname{arcsin} \left( \dfrac{1+x}{2+x} \right)\) est \(\mathcal{C}^{1}\) est voisinage de \(0\) et au voisinage de \(0\), on a : \[\begin{aligned} f'\left(x\right)&=&\dfrac{1}{(2+x)\sqrt{3+2x}}\\ &=& \dfrac{1}{2\sqrt{3}}\dfrac{1}{1+x/2}\dfrac{1}{\sqrt{1+2/3x}}\\ &=& \dfrac{1}{2\sqrt{3}} \left(1-1/2x+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x\right)\right)\left(1-1/3x+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x\right)\right)\\ &=&\dfrac{1}{2\sqrt{3}}\left(1-5/6x+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x\right)\right)\end{aligned}\] donc par primitivation : \[\boxed{\operatorname{arcsin} \left( \dfrac{1+x}{2+x} \right)=\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{1}{2\sqrt{3}}( x-\dfrac{5}{12}x^2 + \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^2\right) )}\]


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