Déterminer le DL(0,4) de la fonction définie par : \[\left( \cos x\right) ^{1+\sin x}\]


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[ID: 724] [Date de publication: 18 janvier 2021 13:44] [Catégorie(s): Calcul de développements limités ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 310
Par emmanuel le 18 janvier 2021 13:44

On met la fonction sous forme exponentielle et on utilise les DL classiques : \[\begin{aligned} \left( \cos x\right) ^{1+\sin x}&=&e^{\left(1+\sin x\right)\ln\left(\cos x\right)}\\ &=&e^{ \left(1+x-1/6x^3\right)\left(-1/6x^2-1/180x^4\right) + \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^4\right) }\\ &=&e^{-1/2x^2-1/2x^3-1/12x^4+ \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^4\right)}\\ &=&\boxed{1-\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{2}+\dfrac{1}{24}x^4 + \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^4\right)} \end{aligned}\]


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