Trouver le DL(0,2) de la fonction définie par \[\left( \dfrac{\sin x}{x}\right) ^{3/x^2}\]


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[ID: 722] [Date de publication: 18 janvier 2021 13:44] [Catégorie(s): Calcul de développements limités ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 125
Par emmanuel le 18 janvier 2021 13:44

Écrivons la fonction sous forme exponentielle et utilisons les DL classiques : \[\begin{aligned} \left( {\scriptstyle\sin x\over\scriptstyle x}\right) ^{3 / x^2}&=&e^{{\scriptstyle 3\over\scriptstyle x^2}\ln\left({\scriptstyle\sin x\over\scriptstyle x}\right)} \\ &=&e^{{\scriptstyle 3\over\scriptstyle x^2}\ln\left(1-1/6 x^2+1/120 x^4 + \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^4\right)\right)}\\ &=&e^{{\scriptstyle 3\over\scriptstyle x^2} \left(-1/6x^2-1/180x^4 \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^4\right)\right) }\\ &=&e^{-1/2-1/60x^2+ \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^2\right)}\\ &=&e^{-1/2}e^{-1/60x^2+ \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^2\right)}\\ &=&e^{-1/2}\left(1-1/60x^2+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^2\right)\right)\\ &= & \boxed{\dfrac{1}{\sqrt{e}}- \dfrac{1}{60\sqrt{e}}x^2 + \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^2\right) } \end{aligned}\]


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