Déterminer les développements limités des fonctions suivantes en \(x_0=0\) à l’ordre indiqué :

  1. \(x \mapsto \sin(\tan(x))\) à l’ordre \(7\)

  2. \(e^{\sqrt{1+x}}\) à l’ordre \(3\)

  3. \((\ln(1+x))^2\) à l’ordre \(4\)

  4. \(\sqrt{3+\cos x}\) à l’ordre \(3\)

  5. \(x \mapsto \sin^6(x)\) à l’ordre \(9\)

  6. \(\ln\left(3e^x+e^{-x}\right)\) à l’ordre \(3\)


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[ID: 718] [Date de publication: 18 janvier 2021 13:44] [Catégorie(s): Calcul de développements limités ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 870
Par emmanuel le 18 janvier 2021 13:44
  1. Comme \(\tan x = x+\dfrac{1}{3}x^3+\dfrac{2}{15}x^5+\dfrac{17}{315}x^7+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^7\right)\), on a : \[\begin{aligned} \sin \left(\tan x\right)&=& \left(x+\dfrac{1}{3}x^3+\dfrac{2}{15}x^5+\dfrac{17}{315}x^7\right)-\dfrac{1}{6}\left(x+\dfrac{1}{3}x^3\right)^3+\dfrac{1}{120} x^5 - \dfrac{1}{5040}x^7 + \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^7\right)\\ &=&\boxed{x+\dfrac{1}{6}x^3-\dfrac{1}{40}x^5-\dfrac{55}{1008}x^7+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^7\right)} \end{aligned}\]

  2. \[\begin{aligned} e^{\sqrt{1+x}}&=&e^{1+\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{1}{16}x^3+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right)}\\ &=& e.e^{\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{1}{16}x^3+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right)}\\ &=&e\left( 1+ \left(\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{1}{16}x^3\right)+\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}x^2\right)^2 + \dfrac{1}{6}\left(\dfrac{1}{2}x\right)^3+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right) \right)\\ &=& \boxed{e\left(1+\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{48}x^3+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right)\right)} \end{aligned}\]

  3. \[\begin{aligned} (\ln(1+x))^2&=&\left(x-\dfrac{x}{2}+\dfrac{x^2}{3}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^2\right)\right)^2\\ &=& \boxed{x^2-x^3+\dfrac{11}{12}x^4+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^4\right)} \end{aligned}\]

  4. \[\begin{aligned} \sqrt{3+\cos x}&=&\sqrt{4-\dfrac{x^2}{2}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right)}\\ &=&2\sqrt{1-\dfrac{x^2}{4}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right)}\\ &=&\boxed{2-\dfrac{x^2}{8} +\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right)} \end{aligned}\]

  5. \[\begin{aligned} \sin^6(x)&=&\left(x-\dfrac{x^3}{6}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right)\right)^6\\ &=&\boxed{x^6-x^8+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^9\right)} \end{aligned}\]

  6. \[\begin{aligned} \ln\left(3e^x+e^{-x}\right)&=&\ln\left( 4+2x +2x^2+\dfrac{1}{3}x^3+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right)\right)\\ &=& \ln 4 + \ln\left(1+\dfrac{1}{2}x +\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{1}{12}x^3+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right)\right)\\ &=&\boxed{2\ln 2 + \dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{8}x^2-\dfrac{1}{8}x^3+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right)} \end{aligned}\]


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