Déterminer les développements limités des fonctions suivantes en \(x_0=0\) à l’ordre indiqué :

  1. \(~\left(1+2x\right)^x\) à l’ordre \(5\)

  2. \(\ln\left(1+\mathop{\mathrm{sh}}x\right)\) à l’ordre \(4\).

  3. \(\ln\left(\cos x\right)\) à l’ordre \(6\)

  4. \(\sqrt{\cos x}\) à l’ordre \(4\)

  5. \(e^{\mathop{\mathrm{ch}}x}\) à l’ordre \(3\)

  6. \(\operatorname{th} x\) à l’ordre \(3\)


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[ID: 714] [Date de publication: 18 janvier 2021 13:44] [Catégorie(s): Calcul de développements limités ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 47
Par emmanuel le 18 janvier 2021 13:44
  1. Par produit et composition de DLs : \[\begin{aligned} \left(1+2x\right)^x&=&e^{x\ln\left(1+2x\right)}\\ &=& e^{x\left(2x-2x^2+{\scriptstyle 8\over\scriptstyle 3}x^3-4x^4+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^4\right) \right)}\\ &=& e^{2x^2-2x^3+{\scriptstyle 8\over\scriptstyle 3}x^4-4x^5+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^5\right)}\\ &=& \boxed{1+2x^2-2x^3+\dfrac{14}{3}x^4-8x^5+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^5\right)} \end{aligned}\]

  2. Par composition de DLs : \[\begin{aligned} \ln\left(1+\mathop{\mathrm{sh}}x\right)&=&\ln\left(1+x+\dfrac{x^3}{6}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^4\right) \right)\\ &=& \boxed{x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{2}-\dfrac{5}{12}x^4+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^4\right)} \end{aligned}\]

  3. Par composition de DLs : \[\begin{aligned} \ln\left(\cos x\right)&=&\ln\left(1-\left( \dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^4}{24}+\dfrac{x^6}{720}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^6\right) \right)\right)\\ &=& \boxed{-\left( \dfrac{x^2}{2} +\dfrac{x^4}{12} +\dfrac{x^6}{45} \right) +\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^6\right) } \end{aligned}\]

  4. Comme \(\sqrt{1+x}=1+\dfrac{x}{2}-\dfrac{x^2}{8}-\dfrac{5}{128}x^4+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^4\right)\), par composition de DLs : \[\begin{aligned} \sqrt{\cos x}&=&\sqrt{1+\left(\cos x-1\right)}\\ &=& \sqrt{1+\left( -\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^4}{24} + \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^4\right)\right)} \\ &=&\boxed{1-\dfrac{x^2}{4} - \dfrac{x^4}{96}}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^4\right) \end{aligned}\]

  5. \[\begin{aligned} e^{\mathop{\mathrm{ch}}x}&=&ee^{\left(\mathop{\mathrm{ch}}x - 1\right)}\\ &=& e\left(e^{ {\scriptstyle x^2\over\scriptstyle 2} + \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right) }\right)\\ &=&\boxed{e\left(1+\dfrac{x^2}{2} \right)+ \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right) } \end{aligned}\]

  6. Par quotient de DLs : \[\begin{aligned} \operatorname{th} x &=& \dfrac{\mathop{\mathrm{sh}}x}{\mathop{\mathrm{ch}}x}\\ &=& \dfrac{x+\dfrac{x^{3}}{6}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right) }{1+\dfrac{x^2}{2}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right)}\\ &=& \boxed{x-\dfrac{x^3}{3}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right)} \end{aligned}\]


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