Déterminer les développements limités des fonctions suivantes en \(x_0=0\) à l’ordre indiqué :

  1. \(~\left(e^x-1\right)\left(\sin x - x\right)\) à l’ordre \(6\)

  2. \(~\dfrac{1}{\cos x}\) à l’ordre \(6\)

  3. \(~{\ln\left({\scriptstyle\sin x\over\scriptstyle x}\right)}\) à l’ordre \(4\)

  4. \(\tan x\) à l’ordre \(5\)

  5. \(\operatorname{arcsin} x\) à l’ordre \(5\)

  6. \(\dfrac{\ln\left(1+x\right)}{e^x-1}\) à l’ordre \(3\)


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[ID: 712] [Date de publication: 18 janvier 2021 13:44] [Catégorie(s): Calcul de développements limités ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 57
Par emmanuel le 18 janvier 2021 13:44
  1. Par produit de DLs : \[\begin{aligned} \left(e^x-1\right)\left(\sin x - x\right)&=&-\left(x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!} \right)\left( -\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}\right)+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^6\right)\\&=&\boxed{-\dfrac{1}{6}x^4-\dfrac{1}{12}x^5 -\dfrac{7}{360}x^6 + \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^6\right)} \end{aligned}\]

  2. Par composition de DLs : \[\begin{aligned} ~\dfrac{1}{\cos x}&=&\dfrac{1}{1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}-\dfrac{x^6}{6!}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^6\right)}\\&=&\boxed{1+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{5}{24}x^4+\dfrac{61}{720}x^6+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^6\right)}\end{aligned}\]

  3. Par quotient de DLs : \(\dfrac{\sin x}{x}=1-\dfrac{x^2}{6}+\dfrac{x^4}{130}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^4\right)\) et donc par composition de DLs, on a : \[\begin{aligned} \ln\left({\scriptstyle\sin x\over\scriptstyle x}\right) &=& \ln\left(1-\dfrac{x^2}{6}+\dfrac{x^4}{130}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^4\right)\right)\\ &=&\left(-\dfrac{x^2}{6}-\dfrac{x^4}{180}\right)-\dfrac{1}{2}\left(-\dfrac{x^2}{6}-\dfrac{x^4}{180}\right)^2+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^4\right)\\ &=&\boxed{-\dfrac{x^2}{6}-\dfrac{x^4}{180}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^4\right)} \end{aligned}\]

  4. On a prouvé dans la question que \(\dfrac{1}{\cos x}= 1+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{5}{24}x^4+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^5\right)\) donc, par produit de DLs : \[\begin{aligned} \tan x &=& \dfrac{\sin x}{\cos x}\\ &=& \left(x-\dfrac{x^3}{6}+\dfrac{x^5}{120}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^5\right)\right)\left(1+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{5}{24}x^4+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^5\right)\right)\\ &=& \boxed{x+\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{2}{15}x^5+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^5\right)} \end{aligned}\] Voir aussi l’exercice .

  5. Utilisant les formules usuelles : \(\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}= 1+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{3}{8}x^4+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^4\right)\) et donc par primitivation : \[\boxed{\operatorname{arcsin} x =x+\dfrac{x^3}{6}+\dfrac{3}{40}x^5 +\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^5\right)}\]

  6. Par quotient de DLs : \[\begin{aligned} \dfrac{\ln\left(1+x\right)}{e^x-1}&=& \dfrac{x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^{3}}{3}-\dfrac{x^{4}}{4}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^4\right) }{x+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{6}+\dfrac{x^4}{24} +\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^4\right) } \\ &=& \dfrac{{1-\dfrac{x}{2}+\dfrac{x^{2}}{3}-\dfrac{x^{3}}{4}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right)}}{1+\left(\dfrac{x}{2}+\dfrac{x^2}{6}+\dfrac{x^3}{24} +\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right)\right) }\\ &=& \left(1-\dfrac{x}{2}+\dfrac{x^{2}}{3}-\dfrac{x^{3}}{4}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right)\right)\left(1+\dfrac{x}{2}+\dfrac{x^2}{12} +\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right) \right)\\ &=&\boxed{1-x+\dfrac{2}{3}x^2 - \dfrac{11}{24}x^3 + \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right)} \end{aligned}\]


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