Déterminer les développements limités des fonctions suivantes en \(x_0=0\) à l’ordre indiqué :

  1. \(~\sin x \cos x\) à l’ordre \(5\)

  2. \(\left(1+x\right)^{-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}}\) à l’ordre \(3\)

  3. \(\operatorname{arctan} x\) à l’ordre \(5\).

  4. \(\mathop{\mathrm{sh}}x\cos x\) à l’ordre \(5\)

  5. \(e^x\sqrt{1-x}\) à l’ordre \(4\)

  6. \(e^{\sin x}\) à l’ordre \(5\).


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[ID: 710] [Date de publication: 18 janvier 2021 13:44] [Catégorie(s): Calcul de développements limités ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 974
Par emmanuel le 18 janvier 2021 13:44
  1. Par produit de DLs : \[\begin{aligned} \sin x\cos x&=&\left(x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}\right)\left(1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}\right)+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^5\right)\\&=&\boxed{x-\dfrac{2}{3}x^3+\dfrac{2}{15}x^5+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^5\right)} \end{aligned}\] On retrouve ce résultat en écrivant \(\sin x \cos x = {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2} \sin \left(2x\right)\).

  2. Appliquant les formules usuelles : \[\begin{aligned} \left(1+x\right)^{-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}}&=&\boxed{1-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{8}x^2 -\dfrac{5}{16}x^3+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right)} \end{aligned}\]

  3. Utilisant les formules usuelles, on a : \(\dfrac{1}{1+x^2}=1-x^2+x^4\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^4\right)\) et donc par primitivation : \[\boxed{\operatorname{arctan} x = x-\dfrac{1}{3}x^3+\dfrac{1}{5}x^5+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^5\right)}\]

  4. Par produit de DLs : \[\begin{aligned} \mathop{\mathrm{sh}}x\cos x&=&\left(x+\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}\right)\left(1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}\right)+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^5\right)\\&=&\boxed{x-\dfrac{1}{3}x^3-\dfrac{1}{30}x^5+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^5\right)} \end{aligned}\]

  5. Par produit de DLs : \[\begin{aligned} e^x\sqrt{1-x}&=&-\left(1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^4}{4!} \right)\left(1-\dfrac{x}{2} - \dfrac{x^2}{8}-\dfrac{x^3}{16}-\dfrac{5x^4}{128}\right)+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^4\right)\\&=&\boxed{1+\dfrac{x}{2}-\dfrac{x^2}{8}-\dfrac{13x^3}{48}-\dfrac{79x^4}{384} +\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^4\right)} \end{aligned}\]

  6. Par composition de DLs : \[\begin{aligned} \boxed{e^{\sin x}=1+x+\dfrac{1}{2}x^2 -\dfrac{1}{8}x^4 -\dfrac{1}{15}x^5+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^5\right)} \end{aligned}\]


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