Soient \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) définie par :

\[f\left(x\right)=\begin{cases} x^3\sin\left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}\right) \textrm{ si } x\neq 0\\0 \textrm{ si } x=0\end{cases}\] Montrer que \(f\) admet un développement limité d’ordre \(2\) en \(0\) mais que \(f\) n’est pas deux fois dérivable en \(0\).


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[ID: 708] [Date de publication: 18 janvier 2021 13:44] [Catégorie(s): Calcul de développements limités ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 100
Par emmanuel le 18 janvier 2021 13:44

On a : \({\scriptstyle f(x)\over\scriptstyle x^2}=x\sin\left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}\right) \xrightarrow[x\rightarrow 0]{} 0\) d’après le théorème des gendarmes. Donc \(f\) admet un développement limité d’ordre \(2\) en \(0\) donné par \(f(x)=\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^2\right)\). D’autre part \(\dfrac{f(x)-f(0)}{x} = x^2\sin\left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}\right)\xrightarrow[x\rightarrow 0]{}0\) et \[\dfrac{f'\left(x\right)-f'\left(0\right)}{x}=\dfrac{3x^2\sin(1/x)-x\cos(1/x) }{x}=3x\sin(1/x)-\cos(1/x)\] qui diverge quand \(x\) tend vers \(0\). Donc \(f\) n’est pas deux fois dérivable en \(0\).


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