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[ID: 706] [Date de publication: 18 janvier 2021 13:44] [Catégorie(s): Calcul de développements limités ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron ]

Solution(s)

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Exercice 106
Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron le 18 janvier 2021 13:44

Soit \(n\in\mathbb{N}\).

1. \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^{n}\) sur \(\mathbb{R}\) et pour tout \(k\in\llbracket 0,n\rrbracket\), \(f^{\left(k\right)}\left(x\right)=e^x\) donc, par application de la formule de Taylor-Young, \(f\left(x\right)=1+\dfrac{x}{1!}+\dfrac{x^2}{2!}+\dots+\dfrac{x^n}{n!}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^n\right)\).

2. \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^{n}\) sur \(\mathbb{R}\) et pour tout \(k\in\llbracket 0,n\rrbracket\), \(f^{\left(k\right)}\left(x\right)=\sin\left(x+k\dfrac{\pi}{2}\right)\) donc, par application de la formule de Taylor-Young, \(f\left(x\right)=\dfrac{x}{1!}-\dfrac{x^3}{3!}+\dots+\left(-1\right)^p\dfrac{x^{2p+1}}{\left(2p+1\right)!}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^{2p+1}\right)\) où \(p=\left[\dfrac{n-1}{2}\right]\).

3. \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^{n}\) sur \(\mathbb{R}\) et pour tout \(k\in\llbracket 0,n\rrbracket\), \(f^{\left(k\right)}\left(x\right)=\cos\left(x+k\dfrac{\pi}{2}\right)\) donc, par application de la formule de Taylor-Young, \(f\left(x\right)=1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}+\dots+\left(-1\right)^p\dfrac{x^{2p}}{\left(2p\right)!}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^{2p+1}\right)\) où \(p=\left[\dfrac{n}{2}\right]\).

4. \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^{n}\) sur \(\mathbb{R}\) et pour tout \(k\in\llbracket 0,n\rrbracket\), \(f^{\left(k\right)}\left(x\right)=\begin{cases} \mathop{\mathrm{ch}}x \textrm{ si $k$ est pair} \\ \mathop{\mathrm{sh}}x \textrm{ si $k$ est impair} \end{cases}\) donc, par application de la formule de Taylor-Young, \(f\left(x\right)=1+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}+\dots+\dfrac{x^{2p}}{\left(2p\right)!}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^{2p+1}\right)\) où \(p=\left[\dfrac{n}{2}\right]\).

5. \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^{n}\) sur \(\mathbb{R}\) et pour tout \(k\in\llbracket 0,n\rrbracket\), \(f^{\left(k\right)}\left(x\right)=\dfrac{k!}{\left(1-x\right)^{k+1}}\) donc, par application de la formule de Taylor-Young, \(f\left(x\right)=1+x+x^2+\dots+x^n+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^{n}\right)\).

6. \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^{n}\) sur \(\mathbb{R}\) et, utilisant le calcul précédent, pour tout \(k\in\llbracket 0,n\rrbracket\), \(f^{\left(k\right)}\left(x\right)=-\dfrac{\left(k-1\right)!}{\left(1-x\right)^{k}}\) donc, par application de la formule de Taylor-Young, \(f\left(x\right)=-\left(x+\dfrac{x^2}{2}+\dots+\dfrac{x^n}{n}\right)+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^{n}\right)\).