Soit une fonction définie sur \(\mathbb{R}\) telle qu’il existe \(k > 0\) tel que \[\forall (x, y) \in \mathbb{R}^{2},~ x\neq y \Rightarrow \lvert f(x) - f(y) \rvert < k \lvert x-y \rvert\]

  1. Montrez que \(f\) est uniformément continue sur \(\mathbb{R}\) ;

  2. On définit la fonction \(\varphi\) sur \(\mathbb{R}\) par \(\varphi(x) = f(x) - kx\). Montrez que la fonction \(\varphi\) est strictement décroissante sur \(\mathbb{R}\) ;

  3. On suppose qu’il existe deux réels \(a < b\) tels que \[\forall x \in [a, b],~ ka < f(x) < kb\] Montrez qu’il existe un unique réel \(\alpha\) dans \([a, b]\) vérifiant \[f(\alpha) = k\alpha\]


Barre utilisateur

[ID: 703] [Date de publication: 18 janvier 2021 13:21] [Catégorie(s): Bijection continue ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

Solution(s)

Exercice 72
Par emmanuel le 18 janvier 2021 13:21
  1. Comme \(f\) est \(k\)-lipschitzienne (l’hypothèse de l’énoncé est plus forte), on montre facilement (voir le cours) que la fonction \(f\) est uniformément continue sur \(\mathbb{R}\).

  2. Soit \((x, y) \in \mathbb{R}^{2}\) tels que \(x < y\). Calculons : \[\begin{aligned} \varphi(y) - \varphi(x) &= f(y) - f(x) - k(y-x) \\ & \leqslant\lvert f(y)- f(x) \rvert - k(y-x) \\ & < k\lvert y-x \rvert - k(y-x) \\ &< 0 \end{aligned}\] Donc la fonction \(\varphi\) est strictement décroissante sur \(\mathbb{R}\).

  3. La fonction \(\varphi\) est continue et strictement décroissante sur l’intervalle \([a, b]\). D’après le théorème de la bijection, \(\varphi\) réalise une bijection de l’intervalle \([a, b]\) vers l’intervalle \([\varphi(b), \varphi(a)]\). Mais \(\varphi(a) = f(a) - ka > 0\) et \(\varphi(b) = f(b) - kb < 0\) par hypothèse. Donc puisque \(0 \in [\varphi(b), \varphi(a)]\), \(0\) possède un unique antécédent \(\alpha\) par \(\varphi\) dans \([a, b]\). En conclusion, il existe un unique \(\alpha \in [a, b]\) tel que \(\varphi(\alpha) = k\alpha\).


Documents à télécharger