Soit \(f: \left\{ \begin{array}{ccl} \left[2,+\infty\right[ & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & \sqrt{x^2-4x+8} \end{array} \right.\).

  1. Prouver que \(f\) réalise une bijection de \(I=\left[2,+\infty\right[\) sur son image (que l’on précisera).

  2. Prouver que la bijection réciproque de \(f\) est continue.

  3. Déterminer cette bijection réciproque.


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[ID: 701] [Date de publication: 18 janvier 2021 13:21] [Catégorie(s): Bijection continue ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 631
Par emmanuel le 18 janvier 2021 13:21
  1. On vérifie facilement que sur \(\left[2,+\infty\right[\), la fonction \(x\mapsto x^2-4x+8\) est strictement croissante. Comme \(f\) est la composée cette fonction par la fonction racine carrée qui est elle aussi strictement croissante, \(f\) strictement croissante sur \(I=\left[2,+\infty\right[\). De plus \(f\left(I\right)=\left[2,+\infty\right]=I\). On en déduit que \(f\) réalise une bijection de \(I\) sur \(I\).

  2. La fonction \(f\) est polynomiale donc continue sur \(\mathbb{R}\). On a montré que \(f\) est strictement croissante sur \(I\). Par application du théorème de la bijection, on en déduit que \(f^{-1}\) est continue sur \(\left[2,+\infty\right[\)

  3. Soit \(y\in\left[4,+\infty\right[\). On a : \(y= x^2-4x+8 \Longleftrightarrow y=\left(x-2\right)^2+4 \Longleftrightarrow x= 2\pm \sqrt{y^2-4}\). Si \(x\in\left[2,+\infty\right[\), nécessairement \(x=2+ \sqrt{y^2-4}\) et \(\boxed{f^{-1}: \left\{ \begin{array}{ccl} \left[2,+\infty\right[ & \longrightarrow & \left[2,+\infty\right[ \\ y & \longmapsto & 2+ \sqrt{y^2-4} \end{array} \right. }\)


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