On définit \(E\) l’ensemble des fonctions \(f:[0,1] \mapsto \mathbb{R}\) continues vérifiant : \[\forall (x,y)\in [0,1]^2, \quad f\left( \dfrac{x+y}{2} \right) =\dfrac{f(x)+f(y)}{2}\]

  1. Montrer que si \((f,g)\in E^2\) et \((\lambda,\mu) \in \mathbb{R}^{2}\) alors \(\lambda f + \mu g \in E\).

  2. On suppose que \(f\in E\) vérifie \(f(0)=f(1)=0\). Montrer que \(f=0\).

  3. Montrer que les éléments de \(E\) sont les fonctions affines.

( ).
Pour la seconde question, déterminer un ensemble \(A\) sur lequel on peut dire que \(f\) s’annule. Montrer que cet ensemble est dense et utiliser le raisonnement par densité. Pour la troisième question, considérer \(g(x)=f(x)- [f(0)+ x(f(1)-f(0)]\).

Barre utilisateur

[ID: 699] [Date de publication: 16 janvier 2021 19:04] [Catégorie(s): Equations fonctionnelles ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

Solution(s)

Exercice 178
Par emmanuel le 16 janvier 2021 19:04
  1. Soit \((f,g)\in E^2\) et \((\lambda,\mu) \in \mathbb{R}^{2}\), alors \[\left(\lambda f + \mu g\right)\left(\dfrac{x+y}{2}\right)=\dfrac{\lambda\left(f\left(x\right)+f\left(y\right)\right)+\mu\left(g\left(x\right)+g\left(y\right)\right)}{2} =\dfrac{\left(\lambda f + \mu g\right)\left(x\right)+ \left(\lambda f + \mu g\right)\left(y\right) }{2}\] et donc \(\lambda f + \mu g \in E\).

  2. On montre que \(f(\dfrac{1}{2})=0\), puis que \(f(\dfrac{1}{4})=f(\dfrac{3}{4})=0\), et ensuite, que \(f\) s’annule sur l’ensemble \[Z=\{ \dfrac{k}{2^n}; n\in \mathbb{N}^{*}, 0 \leqslant k \leqslant 2^n \}\] Cet ensemble est dense dans \([0,1]\). En effet, considérons \(x,y\in\left[0,1\right]\) tels que \(x<y\). Comme \(1/2^n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}0\), il existe \(n\in\mathbb{N}\) tel que \(1/2^{n} < y-x\). Considérons l’ensemble \(A=\left\{k\in\llbracket 0,2^n\rrbracket~|~ k/2^n \geqslant x\right\}\). L’ensemble \(A\) est non vide et possède un plus petit élément \(k_0\). Alors \[y-{\scriptstyle k_0\over\scriptstyle 2^n} >x+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2^{n}}-{\scriptstyle k_0\over\scriptstyle 2^n}=x-{\scriptstyle k_0-1\over\scriptstyle 2^n}>0\] par définition de \(k_0\). Donc \(x\leqslant{\scriptstyle k_0\over\scriptstyle 2^n} <y\) et \(Z\) est bien dense dans \(\left[0,1\right]\). Si alors \(x\in [0,1]\), on peut construire une suite \(x_n\) de points de \(Z\) qui converge vers \(x\). Mais puisque \(\forall n \geqslant 1\), \(f(x_n)=0\), et que \(f\) est continue au point \(x\), on obtient par l’image continue d’une suite que \(f(x)=0\). Donc \(f\) est la fonction identiquement nulle sur \([0,1]\).

  3. Si \(f\in E\), alors d’après la première question, la fonction \(\varphi(x)= f(x)-[f(0)+ x(f(1)-f(0))]\) est encore dans \(E\) (car une fonction affine est dans \(E\) et la différence de deux fonctions de \(E\) est encore une fonction de \(E\)). Puisque \(\varphi(0)=\varphi(1)=0\), d’après la seconde question, il vient que \(\varphi=0\), et donc que \(f\) est affine. Réciproquement, toute fonction affine est bien une fonction de \(E\).


Documents à télécharger