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[ID: 699] [Date de publication: 16 janvier 2021 19:04] [Catégorie(s): Equations fonctionnelles ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron ]

Solution(s)

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Exercice 178
Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron le 16 janvier 2021 19:04

1. Soit \((f,g)\in E^2\) et \((\lambda,\mu) \in \mathbb{R}^{2}\), alors \[\left(\lambda f + \mu g\right)\left(\dfrac{x+y}{2}\right)=\dfrac{\lambda\left(f\left(x\right)+f\left(y\right)\right)+\mu\left(g\left(x\right)+g\left(y\right)\right)}{2} =\dfrac{\left(\lambda f + \mu g\right)\left(x\right)+ \left(\lambda f + \mu g\right)\left(y\right) }{2}\] et donc \(\lambda f + \mu g \in E\).

2. On montre que \(f(\dfrac{1}{2})=0\), puis que \(f(\dfrac{1}{4})=f(\dfrac{3}{4})=0\), et ensuite, que \(f\) s’annule sur l’ensemble \[Z=\{ \dfrac{k}{2^n}; n\in \mathbb{N}^{*}, 0 \leqslant k \leqslant 2^n \}\] Cet ensemble est dense dans \([0,1]\). En effet, considérons \(x,y\in\left[0,1\right]\) tels que \(x<y\). Comme \(1/2^n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}0\), il existe \(n\in\mathbb{N}\) tel que \(1/2^{n} < y-x\). Considérons l’ensemble \(A=\left\{k\in\llbracket 0,2^n\rrbracket~|~ k/2^n \geqslant x\right\}\). L’ensemble \(A\) est non vide et possède un plus petit élément \(k_0\). Alors \[y-{\scriptstyle k_0\over\scriptstyle 2^n} >x+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2^{n}}-{\scriptstyle k_0\over\scriptstyle 2^n}=x-{\scriptstyle k_0-1\over\scriptstyle 2^n}>0\] par définition de \(k_0\). Donc \(x\leqslant{\scriptstyle k_0\over\scriptstyle 2^n} <y\) et \(Z\) est bien dense dans \(\left[0,1\right]\). Si alors \(x\in [0,1]\), on peut construire une suite \(x_n\) de points de \(Z\) qui converge vers \(x\). Mais puisque \(\forall n \geqslant 1\), \(f(x_n)=0\), et que \(f\) est continue au point \(x\), on obtient par l’image continue d’une suite que \(f(x)=0\). Donc \(f\) est la fonction identiquement nulle sur \([0,1]\).

3. Si \(f\in E\), alors d’après la première question, la fonction \(\varphi(x)= f(x)-[f(0)+ x(f(1)-f(0))]\) est encore dans \(E\) (car une fonction affine est dans \(E\) et la différence de deux fonctions de \(E\) est encore une fonction de \(E\)). Puisque \(\varphi(0)=\varphi(1)=0\), d’après la seconde question, il vient que \(\varphi=0\), et donc que \(f\) est affine. Réciproquement, toute fonction affine est bien une fonction de \(E\).