Soit une fonction \(f:\mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}\) continue vérifiant : \[\forall (x,y)\in \mathbb{R}^{2}, \quad f(x+y)=f(x)f(y)\]

  1. Montrer que \(\forall x\in \mathbb{R} , f(x)\geqslant 0\).

  2. On suppose qu’il existe \(x\in \mathbb{R}\) tel que \(f(x)=0\). Montrer que \(f=0\).

  3. On suppose que \(f\) n’est pas la fonction nulle. Déterminer la fonction \(f\).


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[ID: 697] [Date de publication: 16 janvier 2021 19:04] [Catégorie(s): Equations fonctionnelles ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 754
Par emmanuel le 16 janvier 2021 19:04
  1. Soit un réel \(x\in \mathbb{R}\). Puisque \(f(x)=\left(f({\scriptstyle x\over\scriptstyle 2})\right)^2\geqslant 0\), il vient que la fonction \(f\) est positive.

  2. S’il existe \(x\in \mathbb{R}\) tel que \(f(x)=0\), alors si \(z\in \mathbb{R}\), \(f(z)=f(x)f(z-x)=0\), et donc \(f\) est la fonction nulle.

  3. Supposons donc que \(f\neq 0\). Posons alors \(\forall x\in \mathbb{R}\), \(g(x)=\ln f(x)\). Alors \(g\) vérifie \[\forall (x,y)\in \mathbb{R}^{2}, \quad g(x+y)=g(x)+g(y)\] On sait alors qu’il existe \(a\in \mathbb{R}\) (voir l’exercice ) tel que \(g(x)=ax\). Mais alors \(\forall x\in \mathbb{R}\), \(f(x)=e^{ax}=a^x\). On vérifie réciproquement qu’une telle fonction vérifie les hypothèses de l’énoncé.


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