On considère une fonction \(f : ]0, +\infty[ \mapsto \mathbb{R}\) continue au point \(1\). On suppose que \[\forall (x, y) \in ]0, +\infty[,~ f(xy) = f(x) + f(y)\] Déterminez toutes les fonctions \(f\) vérifiant ces propriétés.


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[ID: 695] [Date de publication: 16 janvier 2021 19:04] [Catégorie(s): Equations fonctionnelles ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 195
Par emmanuel le 16 janvier 2021 19:04

Considérons une fonction \(f\) vérifiant les propriétés de l’énoncé. Définissons alors la fonction \[g : \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & f\circ \exp(x) \end{array} \right.\] La fonction \(g\) est continue au point \(0\) et vérifie \[\forall x \in \mathbb{R} ,~ g(x+y) = g(x) + g(y)\] en prenant \(x = y = 0\), on montre que \(g(0) = 0\). Si \(m\in\mathbb{N}^*\) alors, en posant \(a=g\left(1\right)\), on a : \(g\left(m\right)=m a\) et \(a=g\left(1\right)=g\left(m.{\scriptstyle 1\over\scriptstyle m}\right)=mg\left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle m}\right)\) donc \(g\left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle m}\right)={\scriptstyle a\over\scriptstyle m}\) et pour tout \(r\in\mathbb{Q}_+\), \(g\left(r\right)=ar\). De plus, pour tout \(x\in\mathbb{R}\), il est clair que comme \(0=g\left(x-x\right)=g\left(x\right)+g\left(-x\right)\), alors \(g\left(-x\right)=-g\left(x\right)\). Donc : \(\forall r \in \mathbb{Q}\), \(g(r) = a.r\). Montrons que la fonction \(g\) est continue sur \(\mathbb{R}\). Soit \(x_0 \in \mathbb{R}\). Soit \(h \in \mathbb{R}\). Puisque \(g(x_0 + h) = g(x_0) + g(h)\), on a \[\lvert g(x_0 + h) - g(x_0) \rvert = \lvert g(h) - g(0) \rvert\] et la continuité en \(x_0\) s’obtient facilement de la continuité de \(g\) en \(0\). Comme les rationnels sont denses dans \(\mathbb{R}\), si \(x\in\mathbb{R}\), il existe \(\left(r_n\right)\subset \mathbb{Q}\) telle que \(r_n\xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}x\). Mais comme \(g\) est continue en \(x\), il vient que \(g\left(x\right)=g\left(\lim r_n\right)=\lim g\left(r_n\right)=\lim a r_n=ax\). Par conséquent, \(\forall x \in \mathbb{R}\), \(g(x) =ax\) et alors \(\forall y \in ]0, +\infty[\), \(f(x) = a \ln x\). On vérifie réciproquement que toutes ces fonctions vérifient les conditions de l’énoncé.


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