1. Soit \(x\in \mathbb{R}\). Etudier la suite \[u_0=x \textrm{ et } \forall n\in \mathbb N, \quad u_{n+1}=\dfrac{u_n-1}{2}\]

  2. Trouver les fonctions \(f:\mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}\) continues vérifiant \[\forall x\in \mathbb{R} , \quad f(2x+1)=f(x)\]


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[ID: 693] [Date de publication: 16 janvier 2021 19:04] [Catégorie(s): Equations fonctionnelles ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 74
Par emmanuel le 16 janvier 2021 19:04
  1. La suite s’étudie classiquement. La fonction \(h : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto \dfrac{x-1}{2}\) est strictement croissante, admet comme seul point fixe \(x_0=-1\) et vérifie \(h\left(x\right)\geqslant x\) si \(x\in\left]-\infty,-1\right]\) et \(h\left(x\right)\leqslant x\) si \(x\in\left[-1,+\infty\right[\). Donc si \(u_0\in \left]-\infty,-1\right]\), la suite \(\left(u_n\right)\) est croissante et majorée par \(-1\). Elle converge alors vers l’unique point fixe de \(h\). De même, si \(u_0\in \left[-1,+\infty\right[\), la suite \(\left(u_n\right)\) est décroissante et minorée par \(-1\) et converge aussi vers \(-1\). En résumé : \(u_n\xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}-1\).

  2. Puisque \(f\) est continue en \(-1\), \(f(u_n) \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}f(-1)\). Mais \(\forall n\in \mathbb N\), \(f(u_{n+1})=f(2u_{n+1}+1)=f(u_n)\) et par conséquent, la suite \(f(u_n)\) est constante. On en déduit que \(f(x)=f(-1)\) et donc \(f\) est une fonction constante. Réciproquement, les fonctions constantes vérifient la propriété de l’énoncé.


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