Soit une fonction \(f:[0,+\infty[ \mapsto \mathbb{R}\) continue sur l’intervalle \([0, +\infty[\) telle que \[\forall x \geqslant 0, \quad f(x^2)=f(x)\] Déterminer la fonction \(f\).

( ).
Soit \(x>0\), considérer la suite récurrente \[u_0=x \textrm{ et } \forall n\in \mathbb N, \quad u_{n+1}=\sqrt{u_n}\]

Barre utilisateur

[ID: 691] [Date de publication: 16 janvier 2021 19:04] [Catégorie(s): Equations fonctionnelles ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

Solution(s)

Exercice 476
Par emmanuel le 16 janvier 2021 19:04

La suite récurrente de l’énoncé s’étudie classiquement : si \(x> 0\), \(u_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}1\). Comme la fonction \(f\) est supposée continue, si \(x>0\), \(f(u_n)\xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}f(1)\). Mais puisque \(\forall n\in \mathbb N\), \(f(u_{n+1})=f(u_{n+1}^2)=f(u_n)\), la suite \(\bigl(f(u_n)\bigr)\) est constante. Par conséquent, \(f(x)=f(1)\).

On a montré que la fonction \(f\) est constante sur \(]0,+\infty[\). Ensuite, puisque la fonction \(f\) est continue en \(0\), \(\lim_{x\rightarrow 0} f(x)=f(0)\) et comme \(\forall x>0\), \(f(x)=f(1)\), il vient que \(f(0)=f(1)\). Par conséquent les seules fonctions vérifiant l’hypothèse de l’énoncé sont les fonctions constantes.

Réciproquement, les fonctions constantes conviennent.


Documents à télécharger