Déterminer toutes les fonctions \(f:\mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}\) continues telles que \[\forall x\in \mathbb{R} , \quad f(2x)=-f(x)\]


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[ID: 689] [Date de publication: 16 janvier 2021 19:04] [Catégorie(s): Equations fonctionnelles ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 168
Par emmanuel le 16 janvier 2021 19:04

Soit \(x\in \mathbb{R}^{*}\). Considérons la suite \(x_n=\dfrac{x}{2^n}\). On montre que \(\forall n\in \mathbb N\), \(f(x_n)=(-1)^nf(x)\). Mais puisque \(x_n\xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}0\) et que \(f\) est continue en \(0\), \(f\left(x\right)=\left(-1\right)^n f\left(x_n\right) \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}f\left(0\right)\). Donc \(f\left(x\right)=f\left(0\right)\). De plus, comme \(f\left(0\right)=-f\left(0\right)\) , on a \(f\left(0\right)=0\) et \(f=0\). Réciproquement la fonction nulle vérifie l’hypothèse.


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