Soit \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) continue en \(0\) et soit \(k\in\mathbb{N}^*\), \(k\neq1\) tels que \[\forall x\in \mathbb{R}, \quad f(kx)=f(x).\] Montrer que \(f\) est une fonction constante.


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[ID: 687] [Date de publication: 16 janvier 2021 19:04] [Catégorie(s): Equations fonctionnelles ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 849
Par emmanuel le 16 janvier 2021 19:04

Soit \(x\in\mathbb{R}\). On montre par une récurrence facile que \(f(x)=f\left({\scriptstyle x\over\scriptstyle k^n}\right)\). De plus, comme \(f\) est continue en \(0\), en appliquant le théorème de composition d’une suite par une fonction, on montre que : \(f\left({\scriptstyle x\over\scriptstyle k^n}\right) \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} f(0)\) donc par unicité de la limite \(f(x)=f(0)\). On en déduit que \(f\) est constante. Réciproquement, on vérifie que les fonctions constantes sont solutions.


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