Soit une fonction \(f : [0, 1] \mapsto \mathbb{R}\). On définit la suite de terme général \[u_n = \dfrac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} (-1)^kf\bigl(\dfrac{k}{n}\bigr)\] Montrez que cette suite converge vers \(0\).


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[ID: 685] [Date de publication: 16 janvier 2021 19:03] [Catégorie(s): Continuité uniforme ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 126
Par emmanuel le 16 janvier 2021 19:03

Soit \(\varepsilon> 0\). Comme la fonction \(f\) est continue sur le segment \([0, 1]\), elle est uniformément continue d’après le théorème de Heine. Donc il existe \(\eta > 0\) tel que \[\forall (x, y) \in [0, 1]^2,~ \lvert x-y \rvert \leqslant\eta \Rightarrow \lvert f(x) - f(y) \rvert \leqslant\varepsilon\] Posons \(N = E(1/\eta) + 1\). Soit \(n \in \mathbb N\) tel que \(n\geqslant N\). Écrivons \(u_n\) en groupant deux termes successifs : Lorsque \(n\) est pair (\(n = 2p\)), on peut écrire \[u_n = \dfrac{1}{n} \sum_{k=0}^{p-1} \Bigl[f\bigl(\dfrac{2k}{n}\bigr) - f\bigl(\dfrac{2k+1}{n}\bigr)\Bigr]\] Or puisque \(n\geqslant N\), \(\lvert (2k+1)/n - 2k/n \rvert \leqslant\eta\) et par conséquent, \[\lvert u_n \rvert \leqslant\dfrac{1}{n} \sum_{k=0}^{p-1} \varepsilon= \dfrac{\varepsilon}{2} \leqslant \varepsilon\] Lorsque \(n\) est impair, il reste un terme solitaire, que l’on peut majorer en introduisant \(M = \sup_{x\in[0, 1]}\lvert f(x) \rvert\) (la fonction \(f\) est continue sur le segment \([0,1]\) donc \(M\) existe). Notons \(n = 2p + 1\). Alors \[u_n = \dfrac{1}{n} \sum_{k=0}^{p-1} \Bigl[f\bigl(\dfrac{2k}{n}\bigr) - f\bigl(\dfrac{2k+1}{n}\bigr)\Bigr] + \dfrac{1}{n} f\bigl(\dfrac{n-1}{n}\bigr)\] et donc \[\lvert u_n \rvert \leqslant\dfrac{\varepsilon}{2} + \dfrac{M}{n}\] et ici aussi lorsque \(n \geqslant N'\), \(\lvert u_n \rvert \leqslant\varepsilon\).


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