Soit une fonction \(f : [0, +\infty[ \mapsto \mathbb{R}\) continue sur \(\mathbb{R}\) telle que \[f(x) \xrightarrow[x \rightarrow +\infty]{} l \in \mathbb{R}\] Montrez que la fonction \(f\) est uniformément continue sur \(\mathbb{R}\).


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[ID: 683] [Date de publication: 16 janvier 2021 19:03] [Catégorie(s): Continuité uniforme ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 874
Par emmanuel le 16 janvier 2021 19:03

Soit \(\varepsilon> 0\). Comme \(f(x) \xrightarrow[x \rightarrow +\infty]{} l\), il existe \(A > 0\) tel que \(\forall x \geqslant A\), \(\lvert f(x) - l \rvert \leqslant\varepsilon/ 2\). La fonction \(f\) est continue sur le segment \([0, A+2]\) et donc d’après le théorème de Heine, est uniformément continue sur ce segment. Donc il existe \(\eta > 0\) tel que \[\forall (x, y) \in [0, A+1]^2~\lvert x-y \rvert \leqslant\eta \Rightarrow \lvert f(x) - f(y) \rvert \leqslant\varepsilon\] Posons \(\eta' = \min(\eta, 1)\). Soit maintenant \((x, y) \in [0, +\infty[^2\) tels que \(\lvert x-y \rvert \leqslant\eta'\). Étudions les cas suivants :

  • si \((x, y) \in [0, A+1]^2\), on a bien puisque \(\lvert x-y \rvert \leqslant\eta\), \(\lvert f(x) - f(y) \rvert \leqslant\varepsilon\) ;

  • si par exemple \(x \in [0, A+1]\) et \(y \in [A+1, +\infty[\). Comme \(\lvert x-y \rvert \leqslant\eta' \leqslant 1\), on a \(x \in [A, A+1]\) et \(y \in [A+1, +\infty[\), donc \(x, y \in [A, +\infty[\) et donc \[\lvert f(x) - f(y) \rvert = \lvert [f(x) - l] + [l-f(y)] \rvert \leqslant\lvert f(x) - l \rvert + \lvert f(y) - l \rvert \leqslant\varepsilon/2 + \varepsilon/2 = \varepsilon\]

Donc dans tous les cas, \(\lvert f(x) - f(y) \rvert \leqslant\varepsilon\). La fonction est bien uniformément continue.


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