Soit une fonction \(f : \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}\) continue et périodique. Montrez que la fonction \(f\) est uniformément continue sur \(\mathbb{R}\).


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[ID: 681] [Date de publication: 16 janvier 2021 19:03] [Catégorie(s): Continuité uniforme ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 673
Par emmanuel le 16 janvier 2021 19:03

Comme la fonction \(f\) est périodique, il existe \(T > 0\) tel que \(\forall x \in \mathbb{R}\), \(f(x+T) = f(x)\). Considérons le segment \([0, 2T]\). Comme la fonction \(f\) est continue sur ce segment, d’après le théorème de Heine, elle est uniformément continue sur ce segment. Donc il existe \(\eta > 0\) tel que \[\forall (x, y) \in [0, 2T]^2,\quad \lvert x-y \rvert \leqslant\eta \Rightarrow \lvert f(x) - f(y) \rvert \leqslant\varepsilon\] Posons \(\eta' = \min(\eta, T) > 0\). Considérons maintenant \((x, y) \in \mathbb{R}^{2}\) tels que \(\lvert x-y \rvert \leqslant\eta'\), avec pour simplifier \(x \leqslant y\). Il existe \(n \in \mathbb{Z}\) tels que \(x - nT \in [0, T]\) et \(y - nT \in [0, 2T]\) (il suffit de poser \(n = E(x/T)\)). Alors puisque \((x-nT, y-nT) \in [0, 2T]^2\) et \(\lvert (x-nT)-(y-nT) \rvert = \lvert x-y \rvert \leqslant\eta\), on a \(\lvert f(x-nT) - f(y-nT) \rvert \leqslant\varepsilon\). Mais puisque \(f(x-nT) = f(x)\) et \(f(y-nT) = f(y)\), il vient finalement que \(\lvert f(x) - f(y) \rvert \leqslant\varepsilon\).


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