Soient deux fonctions \(f, g : [a, b] \mapsto \mathbb{R}\) lipschitziennes. Montrez que la fonction \(fg\) est lipschitzienne sur \([a, b]\).


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[ID: 679] [Date de publication: 13 janvier 2021 20:56] [Catégorie(s): Fonctions Lipschitziennes ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 551
Par emmanuel le 13 janvier 2021 20:56

Comme les fonctions \(f\) et \(g\) sont continues sur le segment \([a, b]\), elles sont bornées. Notons \(M_f = \sup_{x\in[a, b]}\lvert f(x) \rvert\) et \(M_g = \sup_{x\in [a, b]} \lvert g(x) \rvert\). Comme \(f\) et \(g\) sont lipschitziennes sur \([a, b]\), il existe deux constantes \(k_f\) et \(k_g\) telles que \[\forall (x, y) \in [a, b]^2,~ \lvert f(x) - f(y) \rvert \leqslant k_f\lvert x-y \rvert \textrm{ et } \lvert g(x) - g(y) \rvert \leqslant k_g \lvert x-y \rvert\] Posons alors \[K = M_gk_f + M_fK_g\] Vérifions que \(fg\) est \(K\)-lipschitzienne. Soit \((x, y) \in [a, b]^2\). Écrivons \[\begin{aligned} \lvert fg(x) - fg(y) \rvert &= \Bigl|g(x)\bigl[f(x) - f(y)\bigr] + f(y)\bigl[g(x) - g(y)\bigr] \Bigr| \\ &\leqslant\lvert g(x) \rvert \lvert f(x) - f(y) \rvert + \lvert f(y) \rvert \lvert g(x)-g(y) \rvert \\ &\leqslant M_gk_f\lvert x-y \rvert + M_fk_g\lvert x-y \rvert \\ &\leqslant K\lvert x-y \rvert \end{aligned}\]


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