On considère des fonctions réelles \(f\) et \(g\) définies et continues sur \(\left[0,1\right]\). On définit une fonction \(\varphi\) par : \[\varphi\left(t\right)=\sup_{x\in\left[0,1\right]} \left(f\left(x\right)+tg\left(x\right)\right) .\]

  1. Montrer que \(\varphi\) est définie sur \(\mathbb{R}\).

  2. Montrer que \(\varphi\) est Lipschitzienne sur \(\mathbb{R}\).


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[ID: 677] [Date de publication: 13 janvier 2021 20:56] [Catégorie(s): Fonctions Lipschitziennes ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 1036
Par emmanuel le 13 janvier 2021 20:56
  1. Soit \(t\in\mathbb{R}\). Comme \(f\) et \(g\) sont continues sur le segment \(\left[0,1\right]\), la fonction \(\theta:x\mapsto f\left(x\right)+tg\left(x\right)\) est continue sur \(\left[0,1\right]\). \(\theta\) est donc bornée sur \(\left[0,1\right]\) et atteint ses bornes. On note \(x_t\) un réel élément de \(\left[0,1\right]\) tel que \(\theta\left(x_t\right)=\sup_{x\in\left[0,1\right]} \theta\left(t\right)\). On a alors : \(\varphi\left(t\right)=\theta\left(x_t\right)\) et \(\varphi\) est définie sur \(\mathbb{R}\).

  2. Soient \(t,t'\in\mathbb{R}\). On a : \[\varphi(t) - \varphi(t') = tg(xt) - t'g(xt) + (f(xt)-f(xt')+t'g(xt')-t'g(xt)) = tg(xt) - t'g(xt)\] et de même \[\varphi(t') - \varphi(t) = t'g(xt') - tg(xt')\] Donc \[|\varphi(t) - \varphi(t')| = \max (|tg(xt) - t'g(xt)|,|t'g(xt') - tg(xt')|) = M|t-t'|.\] On prouve ainsi que \(\varphi\) est Lipschitzienne de rapport \(M\).


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