Soit un réel \(a > 0\) et une fonction \(f : [a, +\infty[ \mapsto \mathbb{R}\) croissante. On suppose que la fonction \(f\) admet une limite finie \(l\) lorsque \(x \rightarrow +\infty\) et que la fonction \[g : \left\{ \begin{array}{ccl} ]a, +\infty[ & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} \end{array} \right.\] est croissante. Montrez que la fonction \(f\) est constante.


Barre utilisateur

[ID: 675] [Date de publication: 13 janvier 2021 20:56] [Catégorie(s): Fonctions Lipschitziennes ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

Solution(s)

Exercice 29
Par emmanuel le 13 janvier 2021 20:56

Montrons que \(f\) est constante par l’absurde. S’il existe \(b > a\) tel que \(f(b) \neq f(a)\), puisque la fonction \(f\) est croissante, on aurait \(f(b) > f(a)\). Soit \(x \geqslant b\). Comme la fonction \(g\) est croissante, \[\dfrac{f(x) - f(a)}{x-a} \geqslant\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\] Donc \(f(x) \geqslant(x-a)\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} +f(a)\). Posons \(\alpha = \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} > 0\). On a \(\forall x \geqslant b\), \(f(x) \geqslant\alpha(x-a) + f(a) \xrightarrow[x \rightarrow +\infty]{} +\infty\) et donc \(f(x) \xrightarrow[x \rightarrow +\infty]{} +\infty\), une absurdité.


Documents à télécharger