On considère une fonction \(f: \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}\) et une constante \(K > 0\) telle que \[\forall (x, y) \in \mathbb{R}^{2},~ \lvert x-y \rvert \leqslant 1 \Rightarrow \bigl|f(x)-f(y) \bigr| \leqslant K \lvert x-y \rvert\] Montrer que \(f\) est \(K\)-lipschitzienne sur \(\mathbb{R}\).


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[ID: 673] [Date de publication: 13 janvier 2021 20:56] [Catégorie(s): Fonctions Lipschitziennes ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 103
Par emmanuel le 13 janvier 2021 20:56

Soient \((x, y) \in \mathbb{R}^{2}\). Supposons que \(x < y\). On peut considérer \(x_0 = x\), \(x_1 = x + 1\), …, \(x_k = x+k\), \(x_n = y\) avec \(y - x_{n-1} \leqslant 1\). Alors \[\bigl|f(y)-f(x)\bigr|= \bigl|f(y)-f(x_{n-1}) + f(x_{n-1}) - f(x_{n-2}) + \cdots + f(x_1) - f(x) \bigr| \leqslant \bigl|f(y)-f(x_{n-1})\bigr| + \bigl|f(x_{n-1}) - f(x_{n-2})\bigr| + \cdots + \bigl|f(x_1) - f(x) \bigr|\] et donc \[\bigl|f(y)-f(x)\bigr| \leqslant K\bigl[(x_1-x) + (x_2-x_1) + \cdots + (y-x_n)\bigr] = K(y-x)\]


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