On considère une réunion de deux segments \(K = [a, b] \cup [c, d]\) avec \(a < b < c < d\). Soit \(f : K \mapsto K\) une fonction continue sur l’ensemble \(K\). On suppose que \(\forall (x,y)\in K^2\), \[x\neq y \Rightarrow \lvert f(x)-f(y) \rvert < \lvert x-y \rvert\] On considère la fonction \(\varphi\) définie sur \(K\) par \(\varphi(x) = \lvert f(x) - x \rvert\). Montrez que la fonction \(\varphi\) possède un minimum sur \(K\). Montrez par l’absurde que ce minimum est nul. En déduire que la fonction \(f\) admet un unique point fixe \(x_0 \in K\).

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[ID: 671] [Date de publication: 13 janvier 2021 20:54] [Catégorie(s): Continuité sur un segment ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron ]




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Exercice 440
Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron le 13 janvier 2021 20:54

La fonction \(\varphi\) est continue comme somme et valeur absolue de fonctions continues. Elle est donc continue en tout point de l’ensemble \(K\). Comme la fonction \(\varphi\) est continue sur le segment \([a, b]\), elle possède un minimum \(M_1 = \varphi(x_1)\) sur \([a, b]\) avec \(x_1 \in [a, b]\). De même, elle possède un minimum \(M_2\) sur le segment \([c, d]\) avec \(M_2 = \varphi(x_2)\) où \(x_2 \in [c, d]\). On pose \(m = \min\{M_1, M_2\}\) et on vérifie que \(M\) est un minimum de la fonction \(\varphi\) sur \(K\). Donc on a montré que \[\exists x_0 \in K ~:\quad \forall x \in K,~ \varphi(x_0) \leqslant\varphi(x)\] Si par l’absurde, \(\varphi(x_0) \neq 0\), en utilisant l’inégalité de l’énoncé, puisque \(f(x_0) \neq x_0\), et \(f(x_0) \in K\), on aurait \[\Bigl|f\bigl(f(x_0)\bigr) - f(x_0)\Bigr| < \lvert f(x_0) - x_0 \rvert\] et donc \(\varphi\bigl(f(x_0)\bigr) < \varphi(x_0)\) ce qui est impossible. Par conséquent, \(\varphi(x_0) = 0\) et donc \(f(x_0) = x_0\). Montrons l’unicité du point fixe. S’il existait deux points fixes \(x_1\in K\) et \(x_2\in K\), avec \(x_1 \neq x_2\) on aurait \[\lvert f(x_1)-f(x_2) \rvert < \lvert x_1 - x_2 \rvert\] et donc \(\lvert x_1 - x_2 \rvert < \lvert x_1-x_2 \rvert\) une absurdité.
Remarque : l’hypothèse \(f\) continue est superflue, puisque \(f\) est lipschitzienne.

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