Soient deux fonctions continues \(f\) et \(g\) sur le segment \([0,1]\) vérifiant : \[\forall x\in[0,1], \quad 0 < f(x) < g(x)\] On considère une suite \((x_n)\) telle que \(\forall n \in \mathbb N\), \(x_n \in [0,1]\) et l’on définit la suite \((a_n)\) par \[a_n = \left( \dfrac{f(x_n)}{g(x_n)}\right)^n\] Déterminer la limite de la suite \((a_n)\).

( ).
En utilisant le fait que \([0,1]\) est un segment, montrer que \(\dfrac{f(x)}{g(x)} \leqslant k < 1\) sur \([0,1]\).

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[ID: 669] [Date de publication: 13 janvier 2021 20:54] [Catégorie(s): Continuité sur un segment ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron ]




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Exercice 692
Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron le 13 janvier 2021 20:54

La fonction \(\varphi(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}\) est continue sur le segment \([0,1]\). Elle est donc bornée et atteint ses bornes sur ce segment: il existe \(x_0 \in [0,1]\) tel que \(\sup_{x\in [0,1]} \dfrac{ f(x)}{g(x)} = \dfrac{ f(x_0)}{g(x_0)}=k <1\). Donc \[\forall x\in [0,1], \quad 0< \dfrac{f(x)}{g(x)} \leqslant k <1\] Alors \(\forall n \in \mathbb N\), \(0\leqslant a_n \leqslant k^n\) et comme \(k<1\), la suite géométrique \((k^n)\) converge vers \(0\). D’après le théorème des gendarmes, la suite \((a_n)\) converge vers \(0\).

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