Soit \(f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) bornée et \(g: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) continue. Montrer que \(g \circ f\) et \(f \circ g\) sont bornées.


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[ID: 667] [Date de publication: 13 janvier 2021 20:54] [Catégorie(s): Continuité sur un segment ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 381
Par emmanuel le 13 janvier 2021 20:54

Comme \(f\) est bornée sur \(\mathbb{R}\), il existe \(M >0\) tel que pour tout \(x \in \mathbb{R}\), \(\left|f(x)\right| \leqslant M\). En particulier, \(\forall x\in \mathbb R, \quad f\left(g\left(x\right)\right) \leqslant M\) donc \(f \circ g\) est bornée sur \(\mathbb{R}\). Par ailleurs \(f(\mathbb{R}) \subset [-M,M]\) et \(g\) est continue sur \([-M,M]\) donc \(g\) est majorée et minorée sur \([-M,M]\) et \(g\circ f\) est bornée sur \(\mathbb{R}\).


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