Soit \(f:\mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}\) une application T-périodique (\(T>0\)) et continue. Montrer que \(f\) est bornée.


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[ID: 665] [Date de publication: 13 janvier 2021 20:54] [Catégorie(s): Continuité sur un segment ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 297
Par emmanuel le 13 janvier 2021 20:54

Considérons la restriction de \(f\) au segment \([0,T]\). Elle est continue sur ce segment, et donc est bornée: \(\exists M>0~:\quad \forall x\in [0,T],\quad \left| f(x) \right| \leqslant M\). Mais alors, si \(x\in \mathbb{R}\), avec \(y=E(\dfrac{x}{T})\), on a \(nT\leqslant x < (n+1)T\) et donc \(f(x)=f(x-nT)\) et puisque \(x-nT \in [0,T]\), \(\left| f(x) \right| \leqslant M\).


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