Soit une fonction \(f\) continue sur \(\mathbb{R}\). On suppose que \[f(x) \xrightarrow[x \rightarrow +\infty]{} +\infty \textrm{ et } f(x) \xrightarrow[x \rightarrow -\infty]{} +\infty\] Montrez que la fonction \(f\) possède un minimum.


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[ID: 663] [Date de publication: 13 janvier 2021 20:54] [Catégorie(s): Continuité sur un segment ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 329
Par emmanuel le 13 janvier 2021 20:54

Soit \(x_0 \in \mathbb{R}\). Posons \(A = f(x_0)\). Comme \(f(x) \xrightarrow[x \rightarrow \pm\infty]{} +\infty\), d’après la définition de la limite, il existe \(B > 0\) tel que \(\forall x \in \mathbb{R}\), \(\lvert x \rvert \geqslant B \Rightarrow f(x) \geqslant A\). On a en particulier \(x_0 \in [-B, B]\). La fonction \(f\) est continue sur le segment \([-B, B]\) et donc possède un minimum sur ce segment : \[\exists c \in [-B, B] \mid \forall x \in [-B, B],~ f(c) \leqslant f(x)\] Montrons que \(\forall x \in \mathbb{R}\), \(f(x) \geqslant f(c)\) ce qui montrera que \(f(c)\) est un minimum de \(f\) sur \(\mathbb{R}\). Soit \(x \in \mathbb{R}\). Si \(x \in [-B, B]\), on a bien \(f(c) \leqslant f(x)\). Si \(x \not\in [-B, B]\), alors \(f(x) \geqslant A = f(x_0)\) et comme \(x_0 \in [-B, B]\), il vient que \(f(x) \geqslant f(x_0) \geqslant f(c)\).


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