Soient deux fonctions \(f, g : [0, 1] \mapsto \mathbb{R}\) continues telles que \[\forall x \in [0, 1],~ 0 < f(x) < g(x)\] Montrez qu’il existe un réel \(k > 1\) tel que \[\forall x \in [0, 1],~g(x) \geqslant k f(x)\]


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[ID: 661] [Date de publication: 13 janvier 2021 20:54] [Catégorie(s): Continuité sur un segment ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 543
Par emmanuel le 13 janvier 2021 20:54

Considérons la fonction \(\varphi\) définie sur le segment \([0, 1]\) par \(\varphi(x) = g(x) / f(x)\). Comme la fonction \(f\) ne s’annule pas, \(\varphi\) est définie et continue sur le segment \([0, 1]\) et possède donc un minimum. Il existe \(x_0 \in [0, 1]\) tel que \(\forall x \in [0, 1]\), \(\varphi(x) \geqslant\varphi(x_0)\). Posons \(k = \varphi(x_0)\). Comme \(f(x_0) < g(x_0)\), \(k > 1\) et alors \(\forall x \in [0, 1]\), \(g(x) / f(x) \geqslant k\) d’où le résultat.


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