Soient \(f,g:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}\) continues telles que \(\forall x \in [a,b], \quad f(x) < g(x)\). Montrer qu’il existe \(\alpha >0\) tel que \[\forall x \in [a,b], \quad f(x) \leqslant g(x)-\alpha.\]


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[ID: 659] [Date de publication: 13 janvier 2021 20:53] [Catégorie(s): Continuité sur un segment ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 244
Par emmanuel le 13 janvier 2021 20:54

Considérons la fonction définie sur \(\left[a,b\right]\) par \(\theta=g-f\).La fonction \(\theta\) est continue et strictement positive sur \([a,b]\). Elle possède donc un minimum strictement positif atteint en un certain point \(c\in[a,b]\). Posons : \(\alpha=\theta(c)=g(c)-f(c)>0\). Il est clair que : \(\forall x \in [a,b], \quad f(x) \leqslant g(x)-\alpha.\)


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