On considère une fonction contractante \(f\) sur \(\mathbb{R}\) : \[\forall (x, y) \in \mathbb{R}^{2},~ \bigl|f(x) - f(y) \bigr| \leqslant k \lvert x-y \rvert\] avec \(0 \leqslant k < 1\).

  1. Montrer que \(\forall x \in \mathbb{R}\), \[\lvert f(x) \rvert \leqslant\lvert f(0) \rvert + k\lvert x \rvert\]

  2. On considère la fonction \[g : \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & f(x) - x \end{array} \right.\] Montrer que \(g(x)\xrightarrow[x \rightarrow +\infty]{} -\infty\) et que \(g(x)\xrightarrow[x \rightarrow -\infty]{} +\infty\).

  3. Montrer que \(f\) possède un unique point fixe : \[\exists ! x_0 \in \mathbb{R} ~ \textrm{ tq } f(x_0) = x_0\]


Barre utilisateur

[ID: 656] [Date de publication: 13 janvier 2021 20:49] [Catégorie(s): Théorème des valeurs intermédiaires ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

Solution(s)

Exercice 60
Par emmanuel le 13 janvier 2021 20:49
  1. Utilisons la minoration de l’inégalité triangulaire et le fait que \(f\) est contractante : pour tout \(x \in \mathbb{R}\), \[\lvert f(x) \rvert - \lvert f(0) \rvert \leqslant k \lvert x-0 \rvert\]

  2. En utilisant la majoration précédente, pour \(x > 0\), on obtient que : \[g(x) \leqslant\lvert f(0) \rvert + (k-1)x \xrightarrow[x \rightarrow +\infty]{} -\infty\] et pour \(x < 0\), \[g(x) \geqslant-\lvert f(0) \rvert + (k-1)x \xrightarrow[x \rightarrow -\infty]{} +\infty\] On conclut alors grâce au théorème des gendarmes.

  3. Comme \(g(x)\xrightarrow[x \rightarrow +\infty]{} -\infty\) et que \(g(x)\xrightarrow[x \rightarrow -\infty]{} +\infty\), il existe \(A,B\in\mathbb{R}\) tels que \(g\left(A\right)< 0\) et \(g\left(B\right)>0\). On applique alors le théorème des valeurs intermédiaires à \(g\) sur le segment \(\left[A,B\right]\) et on montre qu’il existe \(x_0 \in \mathbb{R}\) tel que \(g(x_0) = 0\). Le réel \(x_0\) est un point fixe de \(f\). Il est unique car si \(x_0'\) est un autre point fixe de \(f\) alors comme \(f\) est une fonction contractante, il vient que \[\left|x_0-x_0'\right|=\left|f\left(x_0\right)-f\left(x_0'\right)\right|\leqslant k\left|x_0 - x_0'\right|\] ce qui est impossible, à moins que \(x_0=x_0'\), car \(k\in\left[0,1\right[\).


Documents à télécharger