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[ID: 656] [Date de publication: 13 janvier 2021 20:49] [Catégorie(s): Théorème des valeurs intermédiaires ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron ]

Solution(s)

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Exercice 60
Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron le 13 janvier 2021 20:49

1. Utilisons la minoration de l’inégalité triangulaire et le fait que \(f\) est contractante : pour tout \(x \in \mathbb{R}\), \[\lvert f(x) \rvert - \lvert f(0) \rvert \leqslant k \lvert x-0 \rvert\]

2. En utilisant la majoration précédente, pour \(x > 0\), on obtient que : \[g(x) \leqslant\lvert f(0) \rvert + (k-1)x \xrightarrow[x \rightarrow +\infty]{} -\infty\] et pour \(x < 0\), \[g(x) \geqslant-\lvert f(0) \rvert + (k-1)x \xrightarrow[x \rightarrow -\infty]{} +\infty\] On conclut alors grâce au théorème des gendarmes.

3. Comme \(g(x)\xrightarrow[x \rightarrow +\infty]{} -\infty\) et que \(g(x)\xrightarrow[x \rightarrow -\infty]{} +\infty\), il existe \(A,B\in\mathbb{R}\) tels que \(g\left(A\right)< 0\) et \(g\left(B\right)>0\). On applique alors le théorème des valeurs intermédiaires à \(g\) sur le segment \(\left[A,B\right]\) et on montre qu’il existe \(x_0 \in \mathbb{R}\) tel que \(g(x_0) = 0\). Le réel \(x_0\) est un point fixe de \(f\). Il est unique car si \(x_0'\) est un autre point fixe de \(f\) alors comme \(f\) est une fonction contractante, il vient que \[\left|x_0-x_0'\right|=\left|f\left(x_0\right)-f\left(x_0'\right)\right|\leqslant k\left|x_0 - x_0'\right|\] ce qui est impossible, à moins que \(x_0=x_0'\), car \(k\in\left[0,1\right[\).