Soit une fonction \(f : [0, +\infty[\mapsto \mathbb{R}\) continue telle que \(\forall x \geqslant 0\), \(f(x) \geqslant 0\). On suppose que \(\dfrac{f(x)}{x} \xrightarrow[x \rightarrow +\infty]{} l\) avec \(0 < l < 1\). Montrez que la fonction \(f\) admet un point fixe.


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[ID: 654] [Date de publication: 13 janvier 2021 20:49] [Catégorie(s): Théorème des valeurs intermédiaires ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 959
Par emmanuel le 13 janvier 2021 20:49

Considérons un réel \(k \in\mathbb{R}\) tel que \(l < k < 1\). Comme \(\dfrac{f(x)}{x}\xrightarrow[x \rightarrow +\infty]{} l\), il existe \(A > 0\) tel que \(\forall x \geqslant A\), \(\dfrac{f(x)}{x} \leqslant k\). Donc pour \(x \geqslant A\), \(f(x) \leqslant kx\). Considérons la fonction \(\varphi\) définie sur \([0, +\infty[\) par \(\varphi(x) = f(x) - x\). On a \(\varphi(0) = f(0) \geqslant 0\), et puisque \(\varphi(x) \leqslant(k-1) x\) pour \(x \geqslant A\), et que \((k-1) < 0\), \(\varphi(x) \xrightarrow[x \rightarrow +\infty]{} -\infty\). Donc il existe \(B > A\) tel que \(\varphi(B) < 0\). En utilisant le théorème des valeurs intermédiaires entre \(0\) et \(B\), on montre l’existence d’un zéro de la fonction \(\varphi\) et donc d’un point fixe de la fonction \(f\).


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