Soit \(f:\mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}\) une fonction continue, \(n\in\mathbb{N}^*\) et \(x_1,\dots,x_n \in \mathbb{R}\). Montrer qu’il existe \(c\in \mathbb{R}\) tel que \[f(c)= \dfrac{f(x_1)+\dots +f(x_n)}{n}\]
( ).
Résoudre d’abord l’exercice pour \(n=2\) en faisant un dessin. Passer ensuite au cas général.

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[ID: 652] [Date de publication: 13 janvier 2021 20:49] [Catégorie(s): Théorème des valeurs intermédiaires ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 657
Par emmanuel le 13 janvier 2021 20:49

Notons \[t=\dfrac{f(x_1)+\dots+f(x_n)}{n}\] Montrons qu’il existe \(i\in \llbracket 1,n\rrbracket\) tel que \(t\leqslant f(x_i)\). Par l’absurde, si \(\forall k\in [1,n], f(x_k)<t\), en additionnant ces inégalités, on aurait \[nt=\sum_{k=1}^n f(x_k) < nt\] ce qui est absurde. On montre de même qu’il existe \(j\in [1,n]\) tel que \(t\geqslant f(x_j)\).

Par conséquent, \(t\in [f(x_j),f(x_i)]\) et d’après le théorème des valeurs intermédiaires, comme \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\), il existe \(c\in [x_j,x_i]\) tel que \(t=f(c)\).


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