Soient deux fonctions continues \(f, g: [0, 1] \mapsto [0, 1]\). On suppose que \(f\circ g = g \circ f\). On note \(K\) l’ensemble des points fixes de \(f\).

  1. Montrer que \(K\) est stable par \(g\).

  2. Montrer que \(K\) possède un plus petit élément \(x_0\).

  3. On suppose que \(\forall x \in K\), \(g(x) \geqslant x\). Montrer que la suite définie par \(x_0\) et \(\forall n \in \mathbb N\), \(x_{n+1} = g(x_n)\) converge vers un point fixe commun à \(f\) et \(g\).

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[ID: 650] [Date de publication: 13 janvier 2021 20:49] [Catégorie(s): Théorème des valeurs intermédiaires ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron ]




Solution(s)

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Exercice 162
Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron le 13 janvier 2021 20:49

  1. Soit \(x \in K\). Montrons que \(g(x) \in K\). Calculons pour cela \(f(g(x)) = g(f(x)) = g(x)\).

  2. \(K\) est non vide, voir l’exercice et minoré par \(0\) donc \(K\) possède une borne inférieure \(x_0\). Montrons que \(x_0 \in K\). En appliquant la propriété de caractérisation de la borne inférieure, on construit une suite \(\left(x_n\right)\) de points de \(K\) qui converge vers \(x_0\). Comme \(\forall n \in \mathbb N\), \(f(x_n) = x_n\), et que \(f\) est continue au point \(x_0\), il vient en passant à la limite que \(f(x_0) = x_0\), donc \(x_0 \in K\).

  3. Soit \(n \in \mathbb N\). On a \(x_{n+1} = g(x_n) \geqslant x_n\) et donc la suite \((x_n)\) est croissante majorée par \(1\). Elle converge d’après le théorème de la limite monotone vers \(\ell \in [0, 1]\). Comme \(\forall n \in \mathbb N\), \(f(x_n) = x_n\) ( démonstration facile par récurrence), et que \(f\) est continue au point \(\ell\), on trouve que \(f(\ell) = \ell\). Comme également \(\forall n \in \mathbb N\), \(x_{n+1} = g(x_n)\), on a aussi \(g(\ell) = \ell\) et donc \(\ell\) est un point fixe commun à \(f\) et \(g\).

Remarque : On pourrait se poser la question de savoir si dans le cas général il existe toujours un point fixe commun à \(f\) et \(g\). Cette conjecture a été émise en 1954. La réponse (négative) a été apportée en 1969. Le lecteur curieux pourra se reporter à la (longue) discussion : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,546479

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