Soit \(f:[0,1]\mapsto [0,1]\) une fonction continue.

  1. Montrer que \(\forall n\in \mathbb{N}^{*}\), il existe \(a_n\in [0,1]\) tel que \(f(a_n)=a_n^n\) ;

  2. On suppose maintenant que \(f\) est décroissante strictement. Montrer que pour tout \(n\in\mathbb{N}^*\), le réel \(a_n\in [0,1]\) trouvé dans la question précédente est unique à vérifier \(f(a_n)=a_n^n\) et étudier la suite \((a_n)\).


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[ID: 648] [Date de publication: 13 janvier 2021 20:49] [Catégorie(s): Théorème des valeurs intermédiaires ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 653
Par emmanuel le 13 janvier 2021 20:49
  1. Soit \(n>0\). Posons \(g_n:\left\{ \begin{array}{ccl} [0,1] & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & f(x)-x^n \end{array} \right.\). Alors la fonction \(g_n\) est continue sur \([0,1]\) et \(g_n(0)=f(0)\geqslant 0\), \(g_n(1)=f(1)-1 \leqslant 0\). D’après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe \(a_n\in [0,1]\) tel que \(g_n(a_n)=0\) et donc \(f(a_n)=a_n^n\).

  2. Si \(f\) est continue et strictement décroissante, alors pour tout \(n\in\mathbb{N}^*\), \(g_n\) est continue et strictement décroissante également. Par conséquent, \(g_n\) réalise une bijection de \([0,1]\) vers \([f(1)-1,f(0)]\). Comme \(0\in [f(1)-1,f(0)]\), \(0\) possède un unique antécédent \(a_n\) par \(g_n\). Calculons \(g_{n+1}(a_n)=f(a_n)-a_n^{n+1}=a_n^n - a_n^{n+1}=a_n^n(1-a_n) \geqslant 0\) (car \(g_n(a_n)=0 \Rightarrow f(a_n)=a_n^n\)). Comme \(g_{n+1}\) est décroissante, \(a_{n}\leqslant a_{n+1}\) (par l’absurde, si \(a_{n+1}<a_n\), on aurait \(0=g_{n+1}(a_{n+1})> g_{n+1}(a_n)\geqslant 0\)). (Un petit coup d’œil sur le tableau de variations "évite" un raisonnement par l’absurde).

    La suite \((a_n)\) est croissante et majorée par \(1\), elle converge donc d’après le théorème de la limite monotone vers un réel \(l\in [0,1]\).


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