Soit une fonction \(f:\mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}\) continue et croissante. On suppose qu’il existe un réel \(a>0\) tel que \[\forall (x,y)\in \mathbb{R}^{2}, \quad\left| f(x)-f(y) \right| \geqslant a\left| x-y \right|\] Montrer que la fonction \(f\) est bijective.


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[ID: 646] [Date de publication: 13 janvier 2021 20:49] [Catégorie(s): Théorème des valeurs intermédiaires ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 474
Par emmanuel le 13 janvier 2021 20:49
  1. Montrons que \(f\) est injective : soient deux réels \((x,y)\in \mathbb{R}^{2}\) tels que \(f(x)=f(y)\). Alors \[\lvert x-y \rvert \leqslant\dfrac{1}{a}\left| f(x)-f(y) \right| \leqslant 0\] et donc \(x=y\).

  2. Montrons que la fonction \(f\) n’est pas majorée. Par l’absurde : si \(f\) était majorée alors d’après le théorème de la limite monotone, elle tendrait vers une limite finie \(l\) lorsque \(x\rightarrow +\infty\). Mais alors, il existerait \(c>0\) tel que \(\forall x\geqslant c\), \(l-1 \leqslant f(x) \leqslant l\). On aurait alors , \[\forall x\geqslant c,\quad \lvert f(x)-f(c) \rvert \geqslant a\lvert x-c \rvert \Rightarrow \lvert x-c \rvert \leqslant\dfrac{1}{a} \lvert f(x)-f(c) \rvert \leqslant\dfrac{1}{a}\] ce qui est impossible car pour \(x\) assez grand, \(\lvert x-c \rvert > \dfrac{1}{a}\). On montre de même que \(f\) n’est pas minorée.

  3. Par conséquent, la fonction \(f\) est surjective. En effet, Soit \(t\in \mathbb{R}\). Comme \(\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty\) et \(\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=-\infty\), il existe \((a,b)\in \mathbb{R}^{2}\) tels que \(f(a)\leqslant t \leqslant f(b)\). Mais alors d’après le théorème des valeurs intermédiaires, \(\exists c\in [a,b]\) tel que \(f(c)=t\).


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