Soit une fonction \(f:[0,1]\mapsto \mathbb{R}\) continue sur le segment \([0,1]\). Soient deux réels \(p,q >0\). Montrer qu’il existe \(x_0\in [0,1]\) tel que \[pf(0)+qf(1)=(p+q)f(x_0).\]

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[ID: 644] [Date de publication: 13 janvier 2021 20:49] [Catégorie(s): Théorème des valeurs intermédiaires ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron ]




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Exercice 835
Par Emmanuel Vieillard-Baron le 13 janvier 2021 20:52

Introduisons la fonction définie par \(\varphi(x)=(p+q)f(x)-pf(0)-qf(1)\).

Cette fonction \(\varphi\) est continue sur le segment \([0,1]\) et \[\varphi(0)=q(f(0)-f(1)), \quad\varphi(1)=p(f(1)-f(0))\] Comme \(p,q>0\), \(\varphi(0)\) et \(\varphi(1)\) sont de signes opposés. D’après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe \(x_0\in [0,1]\) tel que \(\varphi(x_0)=0\), ce qui prouve le résultat.

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