Soit \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) continue et décroissante. Montrer que \(f\) admet un unique point fixe.


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[ID: 642] [Date de publication: 13 janvier 2021 20:49] [Catégorie(s): Théorème des valeurs intermédiaires ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 251
Par emmanuel le 13 janvier 2021 20:49

Introduisons la fonction \(g\) donnée par \(\forall x\in \mathbb{R}, \quad g(x)=f(x)-x\). \(g\) est strictement décroissante et donc injective et ne s’annule donc qu’une fois au plus. Supposons que \(g\) ne s’annule pas. Alors \(g\) est ou strictement positive ou strictement négative.

  1. Si \(g>0\) alors \(\forall x \in \mathbb{R}, \quad f(x) >x\) et donc \(f(x) \xrightarrow[x\rightarrow +\infty]{} +\infty\) ce qui est absurde car \(\displaystyle{\lim_{+\infty} f = \inf_\mathbb{R}f}\).

  2. Si \(g<0\) alors \(\forall x \in \mathbb{R}, \quad f(x) <x\) et donc \(f(x) \xrightarrow[x\rightarrow -\infty]{} -\infty\) ce qui est absurde car \(\displaystyle{\lim_{-\infty} f = \sup_\mathbb{R}f}\).

On aboutit dans les deux cas à une contradiction et nécessairement \(g\) s’annule une et une seule fois sur \(\mathbb{R}\). On en déduit que \(f\) admet un et un seul point fixe.


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