On considère un méridien terrestre et l’on suppose que la température au sol varie continument sur ce méridien. Montrez l’existence de deux points antipodaux sur ce méridien où la température est la même.


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[ID: 640] [Date de publication: 13 janvier 2021 20:49] [Catégorie(s): Théorème des valeurs intermédiaires ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 642
Par emmanuel le 13 janvier 2021 20:49

À chaque point du méridien, on associe l’angle \(\theta\) entre le pôle nord et ce point. Considérons la fonction \(f : [0, 2\pi] \mapsto \mathbb{R}\)\(f(\theta)\) représente la température au point d’angle \(\theta\). Par hypothèse, cette fonction est continue et \(f(0) = f(2\pi) = T\)\(T\) est la température au pôle nord. Considérons la fonction définie sur \([0, \pi]\) par \(g(\theta) = f(\theta+\pi) - f(\theta)\). Comme \(g\) est continue et que \(g(0) = f(\pi) - f(0) = f(\pi) - f(2\pi) = - g(\pi)\), d’après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe \(\alpha \in ]0, \pi[\) tel que \(g(\alpha) = 0\), c’est-à-dire \(f(\alpha + \pi) = f(\alpha)\).


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