Montrer que les seules applications continues de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{Z}\) sont les applications constantes.


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[ID: 638] [Date de publication: 13 janvier 2021 20:49] [Catégorie(s): Théorème des valeurs intermédiaires ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 418
Par emmanuel le 13 janvier 2021 20:49

Soit \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{Z}\), Suposons que \(f\) n’est pas constante. Il existe alors des réels \(a<b\) tels que \(f(a) \neq f(b)\). Soit \(y\) un nombre non entier strictement compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\). D’après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe \(x\in]a,b[\) tel que \(f(x)=y\) et donc \(f\) n’est pas à valeurs dans \(\mathbb{Z}\). \(f\) est donc forcément constante.


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