Soit \(f:[0,1] \rightarrow [0,1]\) continue. Prouver que \(f\) possède au moins un point fixe.


Barre utilisateur

[ID: 636] [Date de publication: 13 janvier 2021 20:49] [Catégorie(s): Théorème des valeurs intermédiaires ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

Solution(s)

Un théorème classique de point fixe
Par emmanuel le 13 janvier 2021 20:49

Introduisons la fonction \(g\) donnée par \(\forall x \in [0,1], \quad g(x)=f(x)-x\). La fonction \(g\) est continue sur \([0,1]\), \(g(0)=f(0) \geqslant 0\) et \(g(1)=f(1)-1 \leqslant 0\) donc, d’après le théorème des valeurs intermédiaires, \(g\) s’annule sur \([0,1]\).


Documents à télécharger

Un théorème classique de point fixe
Télécharger Télécharger avec les solutions et commentaires

L'exercice