Soit \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) continue telle que \(\displaystyle{\lim_{x \to -\infty} f(x) = -1}\) et \(\displaystyle{\lim_{x \to +\infty} f(x) = +1}\). Prouver que \(f\) s’annule


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[ID: 634] [Date de publication: 13 janvier 2021 20:49] [Catégorie(s): Théorème des valeurs intermédiaires ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 717
Par emmanuel le 13 janvier 2021 20:49

Comme \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow -\infty}f\left(x\right)}=-1\), il existe \(a\in\mathbb{R}\) tel que \(f\left(a\right)<0\). De même, comme \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty}f\left(x\right)}=+1\), il existe \(b\in\mathbb{R}\) tel que \(f\left(b\right)>0\). \(f\) étant continue, d’après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué sur le segment \(\left[a,b\right]\), on en déduit qu’il existe \(c\in\left[a,b\right]\) tel que \(f\left(c\right)=0\).


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