Soit \(f\) une fonction polynomiale de degré impair. Montrer que \(f\) possède au moins une racine réelle.


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[ID: 632] [Date de publication: 13 janvier 2021 20:48] [Catégorie(s): Théorème des valeurs intermédiaires ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 308
Par emmanuel le 13 janvier 2021 20:48

Supposons que le coefficient du terme dominant de \(P\) soit positif. Comme \(P\) est de degré impair, on en déduit que \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow -\infty}f\left(x\right)}=-\infty\) et que \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty}f\left(x\right)}=+\infty\). Comme \(f\) est polynomiale, elle est continue et donc, par application du théorème des valeurs intermédiaires \(f\left(\mathbb{R}\right)=\mathbb{R}\). Il existe donc \(c\in\mathbb{R}\) tel que \(\boxed{f\left(c\right)=0}\). On raisonne de même si le coefficient du terme dominant de \(P\) est négatif.


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