Soit \(f:[0,1]\mapsto \mathbb{R}\) une fonction bornée et continue sur \([0,1]\). On considère la fonction \[\varphi:\left\{ \begin{array}{ccl} [0,1] & \longrightarrow & \mathbb{R} \newline x & \longmapsto & \sup_{t\in [0,x]}f(t) \end{array} \right.\]

  1. Montrer que \(\varphi\) est croissante.

  2. Soit \(x_0\in [0,1]\). Montrer que \(\varphi\) est continue en \(x_0\).

( ).
Pour la deuxième question, considérer \(\varepsilon>0\) et utiliser la continuité de \(f\) en \(x_0\). Il existe \(\alpha>0\) tel que si \(\left| t-x_0 \right| \leqslant\alpha\) alors \(\left| f(t)-f(x_0) \right| \leqslant \varepsilon\). Supposer que \(x_0\leqslant x \leqslant x+\alpha\) et montrer que \(\sup_{t\in [0,x]}f(t) \leqslant\sup_{t\in [0,x_0]}f(t) + \varepsilon\).

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[ID: 628] [Date de publication: 13 janvier 2021 10:32] [Catégorie(s): Continuité des fonctions numériques ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 701
Par emmanuel le 13 janvier 2021 10:32
  1. Soit \(0\leqslant x \leqslant y\leqslant 1\). Soit \(t\in [0,x]\). Puisque \(t\in [0,y]\), \(f(t)\leqslant\sup_{t\in [0,y]}f(t)\). Par passage à la borne supérieure, on en déduit que \(\varphi(x)=\sup_{t\in [0,x]}f(t) \leqslant \sup_{t\in [0,y]}f(t)=\varphi(y)\) (le nombre \(\varphi(y)\) est un majorant de \(\{ f(t); t\in[0,y]\}\))

  2. Soit alors \(x_0 \in [0,1]\). Montrons que \(\varphi\) est continue en \(x_0\): Soit \(\varepsilon>0\). Comme \(f\) est continue en \(x_0\), il existe \(\alpha>0\) tel que \(\forall t\in [0,1]\), \(\left| t-x_0 \right| \leqslant \alpha \Rightarrow \left| f(t)-f(x_0) \right| \leqslant\varepsilon\).

    Soit alors \(x\in [0,1]\) tel que \(\left| x-x_0 \right| \leqslant\alpha\). Supposons dans un premier temps que \(x_0\leqslant x\). On sait déjà que \(\varphi(x_0) \leqslant\varphi(x)\). Soit \(t\in [0,x]\), si \(t\in [x_0,x]\), alors \(f(t)\leqslant f(x_0)+\varepsilon\leqslant\sup_{t\in[0,x_0]}f(t)+\varepsilon\leqslant \varphi(x_0)+\varepsilon\). Et si \(t\in [0,x_0]\), alors \(f(t)\leqslant \sup_{t\in[0,x_0]}f(t) \leqslant\varphi(t) \leqslant\varphi(t)+\varepsilon\).

    On a donc montré que \(\forall t\in [0,x]\), \(f(t)\leqslant \varphi(x_0)+\varepsilon\). Par passage à la borne supérieure, on en déduit que \(\varphi(x)\leqslant\varphi(x_0)+\varepsilon\).

    Donc, on obtient que \[\varphi(x_0) \leqslant\varphi(x)\leqslant\varphi(x_0)+\varepsilon\Rightarrow \left| \varphi(x)-\varphi(x_0) \right| \leqslant\varepsilon\]

    Dans le deuxième cas, si \(x\leqslant x_0\), on sait déjà que \(\varphi(x) \leqslant \varphi(x_0)\). Minorons alors \(\varphi(x)\): Par passage à la borne sup comme précédemment, on obtient que \(\varphi(x)\leqslant \varphi(x_0)+\varepsilon\). Donc \[\varphi(x_0)-\varepsilon\leqslant\varphi(x)\leqslant\varphi(x_0) \Rightarrow \left| \varphi(x)-\varphi(x_0) \right| \leqslant\varepsilon\] En conclusion \(\varphi\) est continue en \(x_0\).


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