Soit la fonction \[f:\left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & \begin{cases} 1 & \textrm{ si } x\in \mathbb{Q}\\ 0 & \textrm{ si } x\not\in \mathbb{Q} \end{cases} \end{array} \right.\] Montrer que la fonction \(f\) est discontinue en tout point \(x_0\in \mathbb{R}\).


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[ID: 626] [Date de publication: 13 janvier 2021 10:32] [Catégorie(s): Continuité des fonctions numériques ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 620
Par emmanuel le 13 janvier 2021 10:32

Soit \(x\in \mathbb{R}\). Puisque \(\mathbb{Q}\) est dense dans \(\mathbb{R}\), \[\forall \varepsilon>0,~\exists a\in \mathbb{Q}~:\quad \lvert x-a \rvert \leqslant\varepsilon\] Soit \(n\in \mathbb{N}^{\star}\). Pour \(\varepsilon= \dfrac{1}{n}\), on trouve \(a_n \in \mathbb{Q}\) tel que \(\left| x-a_n \right| \leqslant\dfrac{1}{n}\). On construit ainsi une suite \((a_n)\) de rationnels vérifiant : \(\forall n\geqslant 1\), \(\left| x-a_n \right| \leqslant\dfrac{1}{n}\). La suite \((a_n)\) converge vers \(x\). De la même façon, puisque \(\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\) est dense dans \(\mathbb{R}\), on construit une suite \((b_n)\) de nombres irrationnels qui converge vers \(x\). Mais alors si l’on suppose que \(f\) est continue au point \(x\), \(\forall n \geqslant 1\), \(f(a_n)=1\) et donc \(f(a_n) \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}1\), mais puisque \(f\) est continue au point \(x\), \(f(a_n) \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}f(x)\), ce qui montre que \(f(x)=1\). D’autre part, \(\forall n\geqslant 1\), \(f(b_n)=0\) et \(f(b_n)\xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}f(x)\) ce qui montre que \(f(x)=0\), une absurdité. Par conséquent, la fonction \(f\) n’est pas continue au point \(x\).


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