Étudier la continuité sur \(\mathbb{R}\) des applications:

\[f: x \mapsto E(x) + \sqrt{x-E(x)} \quad \quad \quad g:x \mapsto E(x) - \left(x-E(x)\right)^2\]

Aide: on distinguera les cas: \(a\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Z}\) et \(a\in \mathbb{Z}\).


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[ID: 624] [Date de publication: 13 janvier 2021 10:18] [Catégorie(s): Continuité des fonctions numériques ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 786
Par emmanuel le 13 janvier 2021 10:18
    1. Si \(a\in\mathbb{R}\setminus \mathbb{Z}\) alors il existe \(k\in\mathbb{Z}\) tel que \(a\in]k,k+1[\). Par suite, pour \(x\) pris dans un voisinage suffisamment petit du point \(a\), on a : \(f(x)=k+\sqrt{x-k}\) qui est continue en \(a\).

    2. Si \(a=k \in \mathbb{Z}\) alors

      1. à gauche de \(a\): \(f(x)=k-1 + \sqrt{x-k+1} \xrightarrow[x\rightarrow a^-]{} k = x = f(x)\) donc \(f\) est continue à gauche de \(a\).

      2. à droite de \(a\): \(f(x)=k + \sqrt{x-k} \xrightarrow[x\rightarrow a^+]{} k = x = f(x)\) donc \(f\) est continue à droite de \(a\).

      En conclusion \(f\) est continue sur \(R\).

    1. Si \(a\in\mathbb{R}\setminus \mathbb{Z}\) alors il existe \(k\in\mathbb{Z}\) tel que \(a\in]k,k+1[\). Pour \(x\) pris dans un voisinage suffisamment petit du point \(a\), \(f(x)=k+\left(x-k\right)^2\) qui est continue en \(a\).

    2. Si \(a=k \in \mathbb{Z}\) alors

      1. à gauche de \(a\): \(f(x)=k-1 + \left(x-k+1\right)^2 \xrightarrow[x\rightarrow a^-]{} k = a = f(a)\) donc \(f\) est continue à gauche de \(a\).

      2. à droite de \(a\): \(f(x)=k + \left(x-k\right)^2 \xrightarrow[x\rightarrow a^+]{} k = a = f(a)\) donc \(f\) est continue à droite de \(a\).

    En conclusion \(f\) est continue sur \(R\).


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